问题2.1如何灵活应用函数的四大性质（原卷版）

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1、2017届高三数学跨越一本线精品问题一如何灵活应用函数的四大性质函数是整个高中数学的核心内容，是高屮数学的主线，所有知识均可与函数建立联系，都可围绕这一主线展开学习考查，它贯穿于中学数学的始末，而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容，在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查，而且考查的形式不一，有选择题，填空题,也有解答题；有基础题，也有难度较大的试题•.本文将从单调性、奇偶性、单调性与奇偶性及四大性质的综合应用四方面分别加以阐述.一、函数单调性的灵活应用1.函数单调性的定义在定

2、义域的一个子集/里,有两个任意自变量召错误!未找到引用源。，当坷＜兀2错误!未找到引用源。时，均有/（^）＜/（x2）错误!未找到引用源。，则/（兀）在区间/内单调增.当召＜兀2错误!未找到引用源。时，/（对＞/（兀2）错误!未找到引用源。则/（兀）在区间z内单调减.函数的单调性也可表示为：于（人）_/（»）〉0时单调递增;/（內）一/（心）v0时单调递减.X）—X9X

3、—x22.判断方法①定义法（作差比较；步骤：1.取值2,作差3,定号4,结论）；②图彖法；③单调性的运算性质；④复合函数单调判断法则；⑤导数法；3.复合函数的单调性设y

4、=/[g（Q]是定义在必上的函数，若/（x）与g（x）的单调性相反，则y=/[g（Q]在弭上是减函数；若/（兀）与g（兀）的单调性相凤则y=/[gU）J在〃上是增函数，简称同增异减.4.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略（1）比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.（2）解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“严符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.（3）利用单调性求参数.①视参数为已知数，依据函数的图彖或单调性定义，确定函数的单

5、调区I'可，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[日，切上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.【例1】如果对定义在R上的函数/(X),对任意两个不相等的实数西,兀2,都有兀

6、/(舛)+兀2,(兀2)>X

7、/(兀2)+勺/(兀I)，则称函数/(X)为函数"•■cinkxHO给出下列函数①y=e'+x;②y=x;③y=3无一sinx;④f(x)=.以上0x=0函数是“H函数”的所有序号为.【分析】本题的重点和难点均为对“H函数”本质的认识和理解，即如何

8、处理和转化题屮所给不等式：%,/(X,)+x2/(x2)>X./(x2)4-x2f{x,),采用合并重组的方法进行处理，得(西-兀2)[/(坷)7(兀2)]>°，由单调性定义的本质，可以看出“H函数”本质上就是个单调递增函数.【解析】因为对任意两个不相等的实数xpx2,都有X,/(%!)+X2f(x2)>x{f(x2)+x2/(x(),即总有不等式(x,-x2)[/(xI)-y(x2)]>0恒成立，即为函数/(兀)是定义在R上的增函数，对于①，由于y-ev与y=x均为R上增函数,则函数y=ev+x在R为增函数；对于②，明显先减后增，不符

9、合；对于③，因为>;=3-cosx>0在R上恒成立，则y=3兀一sin兀在R为增函数；对于④，如图：当x<0时为减函数，当x>0为增函数,不符合，故选①③.【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断(定义法,图像法，导数法)，学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉，如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了，可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质.【小试牛刀JL2017河南安阳期屮】已知函数=>X~2是定义域上的单[log“(x-l)+3,x>2调增函数，则。的取值范围是()A.(3-

10、V3,2)B.(V5-1,V3)C.(1,^3)D.(1,3-73)二、函数奇偶性的灵活应用1.函数奇偶性的定义若函数满足/（兀）对于定义域的任意兀都有/（-兀）=-/（兀），则函数/（x）为奇函数；若函数满足/（兀）对于定义域的任意禺都有/（-X）=/（%）,则函数/（兀）为偶函数.2.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称；②看/（-x）与/（兀）的关系.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：/⑴+/（-无）=（）0/（兀）是奇函数；/（x）-/（-x）=0<=>/（X）是偶函数3.奇偶性常见的性质：①尸f3是偶函数o尸fd）的图象关

11、于V轴对称，尸fd）是奇函数«y=Kx）的图彖关于原点对称；②若奇函数fd）在尤二0处有意义，则H0）二0；③奇土奇二奇，偶土偶二偶，奇X奇二偶，偶X偶二偶，奇X偶二奇（设两函数的定义域分别为D4D,^D2