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《1981高考数学试卷理科》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B,2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC2.选举种数C43=4（种）所有可
2、能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是ABA是B的什么条件1四边形ABCD为平行四边形四边形ABCD为矩形必要条件2a=3
3、a
4、=3充分条件3θ=1500sinθ=充分条件4点（a,b)在圆x2+y2=R2上a2+b2=R2充要条件解：见上表四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).YCbaAOcBX由两点
5、距离公式得：a2=
6、BC
7、2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2=b2+c2-2bccosA.五．（本题满分10分）解不等式（x为未知数）：解：右式=x2(x-a-b-c)>0原不等式解是x≠0,x>a+b+c六．（本题满分10分）用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立证：略七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？下列对数值可供选用：lg1.0087=0.00377lg1.009
8、2=0.00396lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860lg1.2000=0.07918lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340lg1.4859=0.17200lg1.5157=0.18060解：1.所求人口数x（亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12，（1+y%)20≤1.2.
9、根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2.即lg(1+y%)≤0.00396.∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.答：略八．（本题满分17分）在1200的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段AB=10，P1200QEBAFDC1．求直线AB和棱a所成的角;2．求直线AB和平面Q所成的角解：1.在平面P内作直线AD⊥a于点D;在平面Q内，作直线BE⊥a于点E，从点D作a的垂线与从点B作a的平行线相交于点C∴∠ABC等于AB和a所成的角∠ADC为
10、两面角P-a-Q的平面角，∴∠ADC=1200又AD=2，BCDE为矩形，∴CD=BE=4连接AC，由余弦定理得又因AD⊥a,CD⊥a,所以a垂直于△ACD所在的平面再由BC∥a得知BC垂直于△ACD所在的平面，∴BC⊥AC在直角△ABC中，2．在△ACD所在的平面内，作AF⊥CD交CD的延长线于点F因为△ACD所在的平面⊥平面Q，∴AF⊥平面Q在△ADF中，∠ADF=600，AD=2，∴AF=连结BF，于是∠ABF是AB和平面Q所成的角，而△ABF为直角三角形，所以九．（本题满分17分）给定双曲线1．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1
11、及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程2．过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由解：设直线L的方程为y=k(x-2)+1,(1)将（1）式代入双曲线方程，得：又设P1（x1,y1),P2(x2,y2),则x1,x2必须是（2）的两个实根，所以有按题意，因为在直线（1）上，所以再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为这就是所求的轨迹方程2．设所求直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程，整理得设必须是（3）的两个实根，即如果B是
12、Q1Q2的中点，就有，即，所以有综合起来，k应满足由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所
