2008年高考命题走势(三)

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1、2008年高考命题走势（三）近年的“数列”考了哪些内容数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观题和一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.从近三年各地高考试卷来看，高考关于数列方面的命题主要有以下两个方面：一、数列本身的有关知识，考查数等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.【例1】（2007年天津卷）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．8解答：B由题意得，an=

2、（n+8）d,a,∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.【点评】本题主要考查等差、等比数列的性质.【例2】（2007年北京卷）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．解：（I），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．【点评】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质以及通项公式的求法，同时也考查了学生的基本运算能力.【例3】（2007年全国卷Ⅰ）已知数列中，，．（

3、Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．解：（Ⅰ）由题设：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当时，因，，所以，结论成立．（ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．当时，，又，所以　　．也就是说，当时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．【点评】本题考查等差、等比数列的基本运算和错位相减法求和的技巧以及方程意识在解题中的作用.属于中档题，是高考中常见类型.在数列求和中常见的方法有公式法、分组法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法等，方法的选择由数列通项

4、公式的特点来决定.二、数列与其他知识的整合，其中包括数列与函数、方程、不等式、三角函数、几何的整合【例4】（2007年重庆）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：．解：（I）解由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．（II）证法一：由可解得；从而因此令，则．因，故．特别地，从而．即．证法二：同证法一求得及，由二项式定理知，当时，不等式成立．由此不等式有．证法三：同证法一求得

5、及．令，．因．因此．从而．证法四：同证法一求得及．下面用数学归纳法证明：．当时，，，因此，结论成立．假设结论当时成立，即．则当时，因．故．从而．这就是说，当时结论也成立．综上对任何成立．【点评】考查数列的相关知识，具有一定难度，与不等式的证明相结合，带有一定的技巧性.【例5】（2007年江苏）已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等

6、差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，，所以（2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立.（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存

7、在使得中有三项成等差数列.【点评】本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力.三、数列的综合应用【例6】（2007年湖南）已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．（I）证明：数列（）是常数数列；（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．解：（I）当时，由已知得．因为，所以．……①于是．……②由②－①得．……③于是．……④由④－③得，……⑤所以，即数列是常数数列．（II）由①有，所以

8、．由③有，，所以，．而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，，，数列是单调递增数列且对任意的成立．且．即所求的取值集合是．（III）解法一：弦的斜率为任取，设函数，则记，则，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以时，，从而，所以在和上都是增函数．由（II）知，时，数列单调递增，取，因为，所以．取，因为，所以．所以，即弦的斜率随单调递增．解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所