第9章 Laplace变换

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1、第八章Laplace变换Fourier变换的两个限制：§8.1Laplace变换的概念1.定义8.1.1：例1求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)根据拉氏变换的定义,有2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:(1)在t0的任一有限区间上分段连续;(2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

2、f(t)

3、Mect,0t<则

4、f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.MMectf(t)tO注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换同理可得3.Laplace逆变换前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t).下面就来解决这个问题.定理8.1.2:设除在半平面内有限个孤立奇点外是解析的，且当时，，则有§8.2Laplace变换的性质与计算2.

5、微分性质:此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当时，有例1求的拉氏变换（m为正整数）。象函数的微分性质:例2求(k为实数)的拉氏变换.3.积分性质:例6求的拉氏变换.象函数积分性质:则例4求的拉氏变换.小结：拉氏变换表（课本148页)对于求拉普拉斯逆变换问题时，经常遇到的象函数是有理分式，一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数．部分分式法§8.3卷积1.卷积的概念：两个函数的卷积是指如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t<0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成：卷积定理：注：卷积公式可用来

6、计算逆变换或卷积.例2微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.象原函数(微分方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换解代数方程§8.4Laplace变换的应用例1求解。例2求解