第7章：laplace变换

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1、第7章Laplace变换7.1Laplace变换的存在性7.2Laplace变换的基本性质7.3Laplace变换的反演7.4Laplace变换的应用17.1Laplace变换的存在性意义：Fourier变换要求函数平方可积∞2∫

2、f(x)

3、dx<∞−∞问题：许多函数不可能满足上述条件，如f(x)=eix。应用：初值问题的解：已知f(t)

4、=f,求t>0时，求f(t)的t=00值[f(t)满足一定的微分方程]，因此可假定f(t)

5、=0。t<0定义：令−σ0tef(t),t>0g(t)=g(t)=e−σ0tf(t)H(t)0,t<

6、02f(t)tg(t)t3只要σ足够大，g(t)一定是平方可积的。由Fourier0变换可得1∞−iωtG(ω)=∫g(t)edt2−∞π1∞−(σ0+iω)t=∫f(t)edt20π令p=σ0+iω,2πG(ω)≡f(p)可以得到Laplace变换的定义式∞−ptf(p)=∫f(t)edt04逆变换：由Fourier逆变换1+∞iωtg(t)=∫G(ω)edω2−∞π积分沿平行1σ0+i∞−=∫f(p)eσ0teptdp于虚轴的直2πiσ0−i∞线进行。即推得逆Laplace公式1σ0+i∞ptf(t)=∫f(p)edp2πiσ0−

7、i∞写作−1f(p)=ℜ[f(t)];f(t)=ℜ[f(p)]原函数：f(t);像函数：f(p)。5ωp平面σ0+i∞σ0•σσ0-i∞6例1:HeavisideDelta函数解1,t>0∞1−ptHt()=ℜ;[f(t)]=∫1⋅edt=0,t≤00p例2:线性函数　f(t)=t(t>0)解t1−ptℜ=[(ft)]tedt=∫0p2例3:指数函数est解∞1st−(p−s)tℜ[e]=∫edt=0p−s7例4:三角函数sinωt和cosωt解由上题，取s=iω1p+iωpωℜ[eiωt]===+i222222p−iωp+ωp

8、+ωp+ω比较实部和虚部得到（线性性质，见下）pℜ[cosωt]=22p+ωωℜ[sinωt]=22p+ω8ßLaplace变换存在的充分条件1、存在常数M>0和σ≥0，使对于任何0≤t≤∞0

9、f(t)

10、

11、ef(t)

12、

13、f(p)

14、≤∫

15、f(t)e

16、dt0∞−(σ−σ0)tM≤M∫edt=0(σ−σ)0Laplace积分在区域Re(p)>σ一致收敛。因此Laplace变0换在Re(p)>σ的半平面代表一个解析函数

17、(如下页图)。092、当t→0+时，存在n<1,使tfn

18、()t

19、<∞例：()exp(2)的Laplace变换不存在ft=tnf(t)=t,(n≤−1)的Laplace变换不存在p平面ω解析区σ0域•Oσ107.2Laplace变换的基本性质线性变换：设ℜ[f(t)]=f(p);ℜ[f(t)]=f(p)1122那么对任意常数c和c12ℜ[cf(t)+cf(t)]=cf(p)+cf(p)11221122事实上ℜ[cf(t)+cf(t)]1122+∞+∞−pt−pt=cf(t)edt+cf(t)edt1∫12∫200=cf(p)+cf(p

20、)112211时域平移性质:设ℜ[f(t)]=f(p)，对非负实数a−apℜ[f(t−a)]=ef(p)事实上+∞−ptℑ[f(t−a)]=∫f(t−a)edt0a+∞−pt−pt=∫0edt+∫f(t−a)edt0a+∞物理意义不象−ap−pt−ap=e∫f(t)edt=ef(p)Fourier变换那0样明显注意：f(t−a)=0,(t

21、(p)，a为任意常数±atℜ[ef(t)]=f(p∓a)事实上+∞±at−(p∓a)tℑ[ef(t)]=∫f(t)edt=f(p∓a)−∞意义：信号在p域平移时域信号乘指数函数。p平面ω物理意义不象Fourier变换那a样明显σ14相似性性质:ℜ[f(t)]=f(p),对任意常数a>01pℜ[f(at)]=faaa>1:信号时域压缩、p域展宽；a<1:信号时域展宽、p域压缩。物理意义不象f(at)Fourier变换那f(t)样明显t15原函数导数定理ℜ[f′(t)]=pf(p)−f(0)2ℜ[f′′(t)]=pf(p)−p

22、f(0)−f′(0)事实上∞∞−pt−pt∞−ptℜ[f′(t)]=ef′(t)dt=ef(t)

23、+pef(t)dt∫0∫00=pf(p)−f(0)注意一、初始条件进入Lapace变换公式中，这一点在应用中非常重要！二、