复变函数与积分变第5章

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1、《复变函数与积分变换》第五章湖北警官学院张东一、孤立奇点1、孤立奇点与非孤立奇点的定义则称它为孤立奇点，否则称为非孤立奇点。在处不解析，但在的某一个去心邻域内处处解析，如的奇点有：显然z=1非孤立奇点收敛域为展开成罗朗级数，只有在的孤立奇点a处才能将展开成罗朗级数。而在的非孤立奇点处不能将如在z=1处没有罗朗展式。孤立奇点的类型：1、可去奇点若对一切有，则称是函数的可去奇点。在孤立奇点的去心邻域内，函数可展开成为中心的洛朗级数对于的某奇点a，a称为可去奇点当且仅当存在。如等的奇点z=0均为可去奇点。2、极点如果有有限个整数，使得，那么我们说是函数的极点。对于的某奇点a，a称为极点当且

2、仅当。如等的奇点z=1均为极点。极点的阶的一阶极点；如z=1均为中z=-2为一阶极点；z=i为二阶极点。对于正整数，，而当时那么我们就说是的m阶极点。是的m阶极点的充要条件是其中在处解析且。是不等于零的复常数。3、本性奇点对于的某奇点a，a称为本性奇点当且仅当不存在。如等的奇点z=0均为本性奇点。如果有无限个整数，使得，那么我们说是的本性奇点。例求出函数奇点的类型。答案(1)为一级极点；为二阶极点。(2)为一阶极点。(3)为三阶极点。(4)本性奇点。在a处的泰勒展式表示为，设a是的零点，若能将其中在a点解析，且，则a必为m阶零点。函数的零点与极点则称a是的零点。定义设解析，若，如定理

3、：而时a为一阶零点；而时a为二阶零点；而时a为三阶零点；以此类推。例：判断下面解析函数零点的阶。解一阶零点；二阶零点；解三阶零点。例：判断下面解析函数零点的阶。解为四阶零点。孤立的。即不存在任何一个零点使得其定理解析函数的所有零点都是但在实函数中就存在非孤立零点，如它零点无限接近此零点。的零点有和，且显然x=0非孤立零点对于的某极点a，a称为m阶极点当且仅当以a为m阶零点。函数在无穷远点的性态设函数在无穷远点的邻域内为解析，则无穷远点就称为的孤立奇点。例如的无穷远点不是孤立奇点。孤立奇点的类型在内，有洛朗展式在上式中，如果当时：1、那么是可去奇点;2、只有有限个，那么是极点;3、有无

4、穷个，那么是本性奇点。定理设函数在区域内解析，那么是的可去奇点、极点或本性奇点的充要条件是存在着有限、无穷极限或不存在极限。例如分别是，，的可去奇点，极点和本性奇点。二、留数定理在第三章中提到，若在围线C内解析，则但若在C内有孤立奇点，则一般情况下，由洛朗展式中系数的项可知：由此定义即：注意：留数是针对的孤立奇点而言的，的每一个孤立奇点都存在留数。定义设是解析函数的孤立奇点，我们把在处的洛朗展式中负一次幂的系数称为在的留数，记为中的系数。留数的计算等于在处的罗朗展式1、若是的可去奇点，则2、若是的本性奇点，则一般只能用展开式的方法计算。例如因为z=0是这些函数的可去奇点，从而例求(z

5、=0是本性奇点)故3、若是的极点法则1如果为的简单极点，则例：求解则如从而法则2设，其中，在处解析，如果，为的一阶零点，例：求解从而法则3如果为的m阶极点，则例：求解例：求解于是有定理若在C内有n个奇点，则可以每个奇点为圆心做n个互不相交的圆例：求解被积函数有两个奇点：全部都在内。原式例：求解被积函数有两个奇点：全部都在内。原式例：求解原式练习1、求2、求其中C为圆：3、求答案1、2、3、无穷远点的留数定义设为的一个孤立奇点，即在圆环域内解析，则称为在点的留数，记为如果在的洛朗展式为则有如（是其可去奇点）由得各点的留数总和为零。孤立奇点（包括无穷远点在内），则在定理如果在扩充复平面上

6、只有有限个法则4三、用留数定理计算实积分令于是有计算型积分。而得例计算解原式例计算解