复变函数 5.1

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1、第五章留数§1孤立奇点1函数不解析的点为奇点.如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域0<

2、z-z0

3、

4、f(z)原来在z0是否有定义,如果令f(z0)=c0,则在圆域

5、z-z0

6、

7、称为函数f(z)的m级极点.上式也可写成其中g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+...在

8、z-z0

9、

10、点的类型.114.函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m为某一正整数,则z0称为f(z)的m级零点.例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与三级零点,根据这个定义,我们可以得到以下结论:如f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0(5.1.3)12例如z=1是f(z)=z

11、3-1的零点,由于f'(1)=3z2

12、z=1=30,从而知z=1是f(z)的一级零点.13由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的邻域内不为零.这是因为j(z)在z0解析,必在z0连续,所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心邻域内不为零,即不恒为零的解析函数的零点是孤立的.14这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法.1516172.复球面NSOxyPz18除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.取一个与复平面切于原点z=0的

13、球面,球面上的一点S与原点重合.通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极,S为南极.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.19关于的四则运算作如下规定:加法:a+=+a=(a)减法:a-=-a=(a)乘法:a=a=(a0)205.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R<

14、z

15、<内解析

16、,称点为f(z)的孤立奇点.2122规定,如果t=0是j(t)的可去奇点,m级极点或本性奇点,则称点z=是f(z)的可去奇点,m级极点或本性奇点.由于f(z)在R<

17、z

18、<+内解析,所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,根据(4.4.5)与(4.4.8),C为R<

19、z

20、<+内绕原点任何一条简单正向闭曲线23如果在级数(5.1.6)中i)不含负幂项,ii)含有有限多的负幂项,且t-m为最高幂,iii)含有无穷多的负幂项,则t=0是j(t)的i)可去奇点,ii)m级极点,iii)本性奇点.24

21、因此,在级数(5.1.5)中,i)不含正幂项;ii)含有限多的正幂项,且zm为最高幂;iii)含有无穷多的正幂项;则z=是f(z)的i)可去奇点;ii)m级极点;iii)本性奇点.25262728例2函数在扩充平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的极.[解]易知,函数f(z)除使分母为零的点z=0,1,2,…外,在

22、z

23、<+内解析.由于(sinpz)'=pcospz在z=0,1,2,…处均不为零,因此这些点都是sinpz的一级零点,从而是(sinpz)3的三级零点.所