6空间解析几何

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1、第六章空间解析几何与向量代数本章的主要内容是向量和空间图形的方程表示.要求熟练掌握向量的各种运算并理解其几何意义；熟练掌握常用的曲面方程.这些内容都是学习多元微积分的前提・在学习的过程中，读者应多做一些画图练习，以培养自己的空间想象力.一、向量代数1.具有大小和方向的量称为向量，只有大小的量称为数量(实数〉.向量可以用有向线段乔来表示.2.向量应的长度称为向量的模，记为I&I；模为1的向量称为单位向量；长度为零的向量称为零向量，记为6・两个向量的夹角规定^<0<7T.3.与x、y、z三个坐标轴同方向的单位向量分别记为i、j、k,称

2、为基本单位向量.4・非零向量五分别与x、y、z三个坐标轴正向的夹角a,p称为五的方向角；cosa,cos0,cosy称为力的方向余弦.5・若运分别在x、y、z三个坐标轴上的投影为,则a=cd+bj+ck,记为{a^b^c}9称为向量应的坐标；对于给定的点M2(x2,y2,z2)9则MxM2=(x2-xl)i+(y2-yl)j+(z2-zi)k={x2-xi,必一必，召一石}.6.向量的线性运算给定向量应、/及数量2,可定义向量的加法丘+R及数量乘法,统称为向量的线性运算，满足运算律：1）加法交换律a+fl=fl+a}2）加法结合律

3、（丘+直）+歹=丘+（刀+歹）；3）数量乘法结合律2（“丘）=“（几丘）=（2“）丘，其中2与“是数量;4）数量乘法对于数量加法的分配律（2+“）运=几丘+“&；5）数量乘法对于向量加法的分配律2（丘+〃）=兄丘+彷.7.向量的数量积给定向量应与它们的数量积定义为丘・P=

4、&

5、・

6、〃

7、COS0,其中0是丘与P的夹角.数量积满足下列运算律：D交换律&；2）结合律2G・p）=（2⑵・p=&・（彷），其中2是数量;3）分配律（丘+刀）•歹=丘・歹+万•歹；8.向量的向量积给定两个向量&和它们的向量积定义为一个向量，记为运xp,满足：i）

8、

9、ax^

10、=

11、a

12、

13、^

14、sin^,其中0是&与B的夹角；丘xp的方向垂直于&与R所在的平面，并且与P符合右手法则.向量积满足下列运算律：1)反交换律2)结合律2(dx^)=(2a)x^=ax(^),其中久是数量；3)左分配律fx(a+^)=fxa+/x^,右分配律(a+^)x/=axy+^xy・6.向量及其坐标的有关公式给定向量a={Oi，«2,a3},fi={bx,b2,b3}及数量久,贝U1》兄压={加1，加2,加3},&土,={吗±方］9a2±b29a3土方3};2)a^fi=laU^lcos^=+a2b2+a3b3,其中0

15、是两个向量的夹角.于是可推知3)ax/?=〃3"14)与0平行的充要条件是它们对应的坐标成比例舒舒C°S^

16、a

17、^l=a{b{+a2b2+a^b3+a；+at(b；+b；+b；-5)丘与B垂直的充分必要条件是a>^=0,即+a2b2+a3b3=0.6)若a={a1,«2,a3}^0,则应=面应称为应单位化向量，它表示与应同方向的单位向量.并有a=1ala°9此时+°；+a；>={cosa,cos0，cosy},其中cosa,cos0,cosy是应的方向余弦.二.空间中的曲面与曲线1.给定曲面S及三元方程F(X,y9z)=0如果曲面

18、S上的点的坐标都满足方程；反之，方程的解所对应的点都在S上，则称S为方程F(x,j,z)=O所表示的曲面.两个方程Fl(x,y,z)=0和F2(x,y,z)=0表示同一个曲面的充分必要条件是它们为同解方程.2.空间中的曲线C可以看作两个曲面的交线，它的一般方程为

19、F(xjz)=0]g(3，z)=0•x=x(Z)空间曲线C也可表示为参数方程'V_V⑴,a

20、上的曲线C::绕N轴的旋转面方程为x=0f（±^x2+y2,z）=0；绕y轴的旋转面方程为f{y.±^x2+z2）=0・类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程.1.柱面方程平行于定直线L并沿定曲线C移动的直线I所生成的曲面称为柱面,动直线/在移动中的每一个位置称为柱面的母线，曲线C称为柱面的准线.以xoy平面上的曲线C［；"一。为准线，母线平行于z轴的柱平行于x轴和y轴的柱面.1.曲线在坐标面上的投影耳（兀」z）=0在空间曲线的方程°打巧（兀』皿）=0中，经过同解变形分别消去则可得到C在yoz、xoz^xoy平面上的投影曲

21、线，分别为:[Fg)=0fG(x,z)=0严(3)=0[x=0；tj=0；[z=0二.空间中的平面与直线方程1.平面方程1）点法式：给定空间中的点九（心弘心）及非零向量n={A,B,C}9则经过点*与力垂直的平面方程为A(x-xo)4-B(j-jo