向量代数与空间解析几何(6)

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1、第六章.向量代数与空间解析几何本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。 向量。向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世

2、界。由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线

3、段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。 空间直角坐标系以及向量代数。在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一

4、个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。能够满足上面这两个基本要求的坐标系可以有很多的形式，我们经常使用的坐标系就是直角坐标系。我们已经强调了一个向量的大小与方向是与它所处的空间位置没有关系的，换一个说法，就是一个向量在空间进行平移时，不影响它的大小与方向。那么在空间中，对任意一个向量的度量，都可以通过把这个向量平移到以坐标系的原点为起点的位置，再用它的终点的坐标来表征这个向量的大小与方向。显然，任意的一个向量，只要是通过平移

5、而处于这种方式，就只会唯一的，而空间中的任意一点在一个这样的直角坐标系里的标度也是唯一的。因此这样决定的一个向量的坐标也就是唯一的。本课程我们主要只考虑三维的情况，因此一个向量可以用一个唯一的坐标来表示，在直角坐标系里，也就是由三个实数组成的三元组：（a，b，c）。基于上面对于唯一性的分析，可以得到坐标表示的向量的相等的含义，就是坐标三元组的分别相等。进一步，为了更为方便地度量一般的向量，我们引入单位向量的概念，就是在坐标轴方向上具有单位长度的向量，在直角坐标系当中，习惯的写法，就是，，，分别表示在X，Y，Z轴上的单位向量。按照

6、坐标三元组的写法，就是=（1，0，0）；=（0，1，0）；=（0，0，1）。然后在直角坐标系当中，就可以应用代数形式来表示向量的运算了。首先代数加法，就是三个坐标分别进行代数加法，得到的值，就分别是和向量是三个坐标。运用这个定义，就可以很方便地把一般向量写成三个单位向量的线性组合的形式：，运用这种形式，就可以很方便地给出向量的运算法则，最基本的运算法则，就是线性运算法则：设，，那么对于任意实数m，n，我们有+=。既然向量含有方向这个要素，那么如何通过它的坐标来得到直接表达方向的角度度量呢？这里的关键是引入内积的概念。一般地我们定

7、义两个向量的内积为它们的三个坐标分别相乘，再相加而得到的一个实数。写成公式，就是。注意，这里使用的是点乘号，而不能使用叉乘号×，因为在向量运算当中，×具有别的定义。根据这个定义，不难验证内积满足交换律，结合律以及分配律。按照这个定义以及单位向量的坐标表示，可以得到单位向量之间的内积如下：；。运用内积还可以表达向量的绝对长度，称为向量的模：内积的几何意义，就是这两个向量的模的乘积乘以这两个向量的夹角：。注意这个等式的左右边的点乘号的含义是不同的，左边的表示内积，而右边的表示一般的实数之间的乘法。从内积的几何意义可以看到，我们可以反

8、过来应用内积来表达向量的方向，也就是向量的方向余弦与方向角。所谓向量的方向余弦就是它的所谓规范化向量的三个坐标：=，而这三个坐标所代表的正是规范化向量分别与三个单位向量之间的夹角的余弦，或者说，正是向量与三个坐标轴之间的夹角的余弦，因此通过这三个方向余弦，就得到