第6章 空间解析几何

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1、《高等数学》精品课程—《向量代数》部分—电子教案第六章空间解析几何教学目的：理解空间直角坐标系的概念。难点：卦限的划分及点的坐标特点，空间点与数组的对应关系重点：空间直角坐标系；距离公式§6.1空间直角坐标系一、直线上的坐标系有向线段1.直线上的坐标系中学代数和解析几何课程里，曾经介绍过数轴和直线上坐标系的概念。在直线上，任意选定一个原点Ｏ，一个正向（正向有两种可能的情形），和一个单位长度，该直线就叫做数轴。o1原点O把直线分为两个有向半线，从O出发，沿正向的半线叫做正半轴，沿相反方向的半线叫做负半轴。直线上任意一点P可以用这样一个实数

2、x表示：1)当P和O重合(P=O)时，x=02)3)在这里，表示线段OP的长；在一切情况下，

3、x

4、=。直线上的点和实数之间建立了一种“一一对应关系”，即不但直线上每一点P之间确定唯一的一个实数x,而且倒转过来一个实数x显然也确定直线上唯一的一点P，因此，直线称为数轴。在这里，表示线段OP的长；在一切情况下，

5、x

6、=,直线上的点和实数之间建立了一种“一一对应关系”，即不但直线上每一点P之间确定唯一的一个实数x,而且倒转过来一个实数x显然也确定直线上唯一的一点P，因此，直线称为数轴。由上可知，对应于数轴上一点P的实数x也叫做P点的坐标，这个

7、事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐标轴，用Ox表示。换句话说，在直线上，一个原点，一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系。2.有向线段坐标轴Ox是有向线段，它上面的线段也可以是有向线段：若P1,P2为Ox第29页共29页《高等数学》精品课程—《向量代数》部分—电子教案上任意两点，我们用表示由P1到P2的有向线段（用表示有向线段，以便和下一节的向量记号一致，因为有向向段本质上是向量）；P1是它的始点，P2是为它的终点。此外我们用P1P2代表有向线段在坐标轴Ox的代数长。其定义如下：1）若P1,=P2，令（0表示零线段），

8、则2）若与Ox方向相同，则3）若与Ox方向相反，则由定义易验证等式：（1）若P1,P2,P3为Ox轴上任意三点，则有向线段的终点总是有向线段的始点，因此无论这三点在Ox轴上的顺序始何，很自然地令为它们的和根据数轴Ox上一点的坐标的定义和有向线段代数长的定义，若P点坐标是X，则它就是有向线段(3)定理Ox轴上有向线段的代数长等于终点坐标减去始点坐标，即（4）证明根据（3），有(5)根据（2）又有(6)根据（1），（5）有代入（6）得（4）的证明。由上述定理，可以看出有向线段的长是二、空间直角坐标系1.直角坐标系的建立过空间定点作三条互相垂

9、直的以为原点的数轴：轴（横轴）、第29页共29页《高等数学》精品课程—《向量代数》部分—电子教案Oy轴(纵轴),Oz轴(竖轴)，统称为坐标轴．它们的顺序按下述右手规则确定：以右手握住轴，让右手的四个手指横轴纵轴竖轴定点从轴正向以角度转向轴正向时，大姆指的指向就是轴的正向．这样就构成了一个空间直角坐标系，如图6—1所示．点称为坐标原点(或原点)，每两条坐标轴确定一个平面，称为坐标平面．由轴与轴确定的平面称为平面，类似地有平面和平面．0xyz0xyz0xzy0xyz为统一起见,我们用右手法则确定其正向.Oxyz第29页共29页《高等数学》精

10、品课程—《向量代数》部分—电子教案三个坐标平面将整个空间分成八个部分，每一部分叫做一个卦限．含有三个坐标轴正半轴的那个卦限叫做第Ⅰ卦限，其它第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限，在平面的上方，按逆时针方向确定．第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分分别称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限(图6—2)．Ⅶ面面面ⅠⅡⅣⅤⅥⅧ 、1

11、图6-1ⅧⅢ图6-2　　　　2.空间点与数组的一一对应设为空间任意一点，过点分别作垂直于三坐标轴的平面，与坐标轴分别交于、、三点(图6—3)．设这三点在轴、轴和轴上的坐标分别为、和．则点唯一确定了一个三元有序数组；反之，设给定一组三元有序数组，在轴、轴和轴上分别取点、、，使得，，然后过、、三点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，这三个平面相交于点，即由一个三元有序数组唯一地确定了空间的一个点．于是，空间的点和三元有序数组之间建立了一一对应的关系，我们称这个三元有序数组为点的坐标，记为，并依次称、和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．显然，原点的坐

12、标为；轴、轴和轴上点的坐标分别为、、；平面、平面和平面上点的坐标分别为、和．第29页共29页《高等数学》精品课程—《向量代数》部分—电子教案图6-33．空间两点间的距离设、为空间任意两点，过点各作三个分别垂