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1、第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴
2、为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点18向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1.空间直角坐标系在空间,使
3、三条数轴相互垂直且相交于一点，这三条数轴分别称为轴、轴和轴，一般是把放置在水平面上，轴垂直于水平面.轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向轴的正向，这时大拇指所指的方向就是轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系.在此空间直角坐标系中，轴称为横轴，轴称为纵轴，轴称为竖轴，称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.轴与轴所确定的坐标面称为坐标面，类似地有坐标面，坐标面。这些坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限.在空间直角坐标系中建立了空间的一点
4、与一组有序数之间的一一对应关系。有序数组称为点的坐标；分别称为坐标，坐标，坐标.2.向量的基本概念⑴向量的定义 既有大小，又有方向的量，称为向量或矢量．⑵向量的模 向量的大小称为向量的模，用或表示向量的模．⑶单位向量 模为1的向量称为单位向量．18⑷零向量 模为０的向量称为零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.⑹自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量,称为自由向量.⑺向径 终点为的向量称为点的向径,记为.3.向量的线性运算⑴向量的加法①三角形法则 若将向量的终点与向量的起点放在一起，则以的起点为起点，以的终点为终点的向量
5、称为向量与的和向量，记为.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.②平行四边形法则 将两个向量和的起点放在一起，并以和为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为.这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则.向量的加法满足下列运算律.交换律：=；结合律：（）+=+（+）.⑵向量与数的乘法运算实数与向量的乘积是一个向量，称为向量与数的乘积，记作，并且规定：①；②当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；③当时，是零向量.设都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：18结合律：；分配律：,(+)=+.向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算.⑶求与
6、同向的单位向量的方法设向量是一个非零向量，则与同向的单位向量.⑷负向量当时，记(-1)=-，则-与的方向相反，模相等，-称为向量的负向量.⑸向量的减法两向量的减法（即向量的差）规定为-=+(-1).向量的减法也可按三角形法则进行，只要把与的起点放在一起，-即是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.4.向量的坐标表示⑴基本单位向量,,分别为与轴,轴,轴同向的单位向量.⑵向径的坐标表示点的向径的坐标表达式为=或简记为=.⑶的坐标表示 设以为起点,以为终点的向的坐标表达式为=.⑷向量的模=.5.坐标表示下的向量的线性运算18设，，则有（1）；（2）；（3）.6.向量的数量
7、积⑴定义设向量之间的夹角为，则称为向量的数量积，记作·，即·=.向量的数量积又称“点积”或“内积”.向量的数量积还满足下列运算律:交换律：·=·；分配律：(+)·=·+·；结合律：(·)=()·.⑵数量积的坐标表示设，,则·=.⑶ 向量与的夹角余弦设，,则=.⑷向量的方向余弦设向量与轴,轴,轴的正向夹角分别为,称其为向量的三个方向角，并称,,为的方向余弦，向量的方向余弦的坐标表示为18，且.7．向量的向量积⑴定义两个向量与的向量积是一个向量，记作×，它的模和方向分别规定如下：①×=；②×的方向为既垂直于又垂直于，并且按顺序,,×符合右手法则.向量的向量积满足如下
