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1、4、2、3直线与圆的方程的应用（二）【教学目标】1、坐标法求直线和圆的应用性问题；2、血积最小圆、中点弦问题的解决方法.【教学重难点】教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题.教学难点：而积最小圆、屮点弦问题的解决方法.【教学过程】1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题例1、求通过直线2x-y+3=0与圆F+y2+2兀一4y+l=0的交点，且面积最小的圆的方程.结论:解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为F+y2+2x_4y+l+入（2x—y+3）=0.配方得到标准式方程如下所示（兀+1+入尸+（）一
2、2—九/2尸=（1+九尸+（2+入/2）2—3入一1,可以得到厂2=（5/4）£+九+4=5/4（入+2/5）2+19/5,当九二一2/5时，此时半径厂=J19/5,所求圆的方程为（兀+3/5尸+（）一9/5尸=19/5.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点A（西，）〉）,3（兀2，旳）连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去y,得5疋+6兀一2=0.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段AB的中点的横坐标为心=（兀
3、+吃）/2=—3/5,y0=2x0+3=9/5,又半径r
4、=0.51%）-x21.Vl+22=V19/5（弦长公式），所以所求的圆的方程是:（x+3/5）2+（y-9/5）2=19/5.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.变式练习：求圆（X—2）70+3）上的点到x-y+2=°的最远、最近的距离。例2、已知圆0的方程为x2+y2=9,求过点4（1,2）所作的弦的中点的轨迹.结论:解法一.：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k（x-1）（k存在时），P（x,y）,贝U/+y2=9丿=也+（2-幻，消
5、去y,得到如下方程（1+疋）兀2+2饥2—灯兀+/_4比一5=0.所以我们可以得到下面结果兀］+兀2=2R伙-2）/伙？+1）,利用中点坐标公式及中点在直线上，得：x=k（k-2）/（k2+1）,=（-k+2）/（k2+1）（k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为x2^-y2-x-2y=0f当k不存在时，中点P（1,0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1）为圆心，J§/2为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN,则可以设两点的坐标为必（州，）1）,"（兀2，力
6、）・因为M、N都在圆上，所以我们可以得到^2+^2=9,x22+y22=9，然后我们把两式向减可以得到：（兀］+兀2）+［（必一力）/（兀】一兀2）］・（）'】+旳）=°（石工兀2）・设P（x,y）则兀=（兀］+吃）/2,『=（必+旳）/2.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到（〉'】—）‘2）/（兀1—兀2）=（y-2）/（X-l）OH1）.所以2x+［（y-2）/（X-1）］-2y=0,所以P点的轨迹方程为x2+-x-2y=0（x=1时也成立），所以P点的轨迹是以点（1/2,1）为圆心，75/2
7、为半径的圆.解法三：数形结合（利用平面几何知识），由垂径定理可知0P丄P4,故点P的轨迹是以A0为直径的圆.变式练习：已知直线/：兰+丄=1,M是/上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂43足分别为A、B,则在A、B连线上，且满足乔=2西的点P的轨迹方程。4、2、3直线与的方程的应用导学案（二）反思总结：课前预习学案一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题二、预习内容：1.你能说出直线与圆的位置关系吗？2.解决直线与圆的位置关系，你将采用什么方法？三、提出疑惑1、；_2、・：3.。课
8、内探究学案一、学习目标：（1）理解直线与圆的位置关系的儿何性质；（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题.学习重难点：直线的知识以及圆的知识二、学习过程：1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题例仁求通过直线2兀—y+3=0与圆x当堂检测：己知与曲线C：x2-^y2-2x-2y+l=0相切的直线/交兀,y的正半轴与A、B两点,O为原点,
9、OA
10、=a,
11、OB
12、=b,(a>2,/?>2).(1)求线段AB中点的轨迹方程；(2)求血的最小值.课后练习与提高+/+2x-4y+l
13、=0的交点，且面积最小的圆的方程.变式练习：已知直线/：宇+寸=1,M是/上一动点，过M作x轴、y轴的垂线，垂足分别为4、3,则在4、3连线上，且满足~AP=2PB的点P的轨迹方程。反思总结：/(x,y)=0,则方程/(x,y)-/(x1,y1)-/(x2,y2)=0表示A、与/重合的直线B、过P?且与/平行的直线C、过Pi且与/垂直的直线D、不过P2但与/平行的直线1.如果实数X,)
