153定积分的概念

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1、§1.5.3定积分的概念教学目标：1•通过求曲边梯形的血积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.借助于儿何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分.3.理解掌握定积分的儿何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义.教学难点：定积分的概念、定积分的儿何意义.教学过程：一.创设情景复习:1.回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤:丽T以直代曲卜丽IT取极限（逼近2.对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同

2、点.二.新课讲授定积分的概念一般地，设函数/（兀）在区间［d,b］上连续，用分点a=x0

3、：（1）定积分『/（兀处是一个常数，即S”无限趋近的常数S（m+oo时）称为（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：“等分区间［a,h］；②近似代替：取点岳③求和：工二畑;④取极限：f/（兀宓=1讪工/•（幼二気〃山心8気n（3）曲边图形面积：S=变速运动路程S二变力做功W=（F（r）drJa1定积分的概念及其几何意义；(1)定义表达式：ff(x)dx=limyf)Ax4i=l(2)定积分几何意义：①ff(x)dx(f(x)>0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成

4、ll

5、边梯形的血枳②

6、ff(x)dx(f(x)<0)表示Y=f(x)与X轴，x=a,x=b所I韦I成曲边梯形的血积的相反数2.微积分基木定理一般地，如果/(兀)是区间［恥］上的连续函数，并且F3=/⑴,则打(x)dx=F(b)—/⑺)说明：一般情况下，定积分ff(x)dx的儿何意义是介于兀轴、函数/(兀)的图形以及直线x=a,x=bZ间各部分面积的代数和，在兀轴上方的面积取正号，在兀轴下方的面积去负号.(可以先不给学生讲).分析：一般的，设被积函数y=/(x),若y=f(x)在S,b］上可取负值。考察和式/(xj+/(

7、x2)Ax+---+/(兀)心+…+f(xzj)Ax不妨设/(兀)J(兀+i),…J(£)v0于是和式即为/(x1)Ax+/(x2)Ax+-«-+/(xz_I)Ax-{[-/(xf.)Ax]+•••+[-/(%,.)Ax]}/.［f{x)dx=阴影A的面积一阴彫3的而积(即兀轴上方面积减x轴下方的面积)2.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1fdx=b-a性质2fWdx(其中k是不为0的常数)(定积分的线性性质)性质3f[久⑴土九⑴以=£/,(x)Jx±£/2(x)t/

8、x(定积分的线性性质)性质4hch^f(x)dx=jf(x)dx+(其中°

9、H

10、边梯形CPNB一.典例分析例1・利用定积分的定义，计算^x3dx的值答案冷计算下列定积分的值，并从几何上解釋这个值表示什“+

11、1)24⑵(x3dx=-丄表示山直线x=O,x=-l,y=O和曲线y=，所围成的去边梯形的面积的丄14相反数⑶+(-

12、)=0表示位于x轴上方的区边梯形面积减去位于x轴卜-方的区边梯形面积(4)fx3dx=—表示位于x轴上方的区边梯形面积减去位于x轴下方的区边梯形而积丄14例2.利用定积分的儿何意义说明pl-x2Jx的人小.答案：根据定积分的几何意义，^l-x2dx表示由直线x=O,x=I,y=O以及曲线y=J1-X、所围成的曲边梯形的面积,即四分Z—单位圆的面积。变形：利用定积分的几何意义求［27

13、4-x2dx答案，被积函数表示的曲线是圆心在原点，半径为2且在x轴上方的半圆，由定积分的儿何意义知道此积分计算就是半圆的面积，即2tt二.练习：1•设连续函数/(%)>0,则当a

14、sinxdx相等的是A.3I2sinxdxB.3fsinxdx3开C.(sinxdx・fsinxdx答案：C3.下列等式成立的是A.