153定积分的概念教学设计

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1、教学课题选修2-2第一章1.5.3定积分的概念课标要求一、知识与技能：1.通过求曲边梯形的而积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2.借助于儿何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分.3.理解掌握定积分的几何意义；二、过程与方法：通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。三、惜感态度与价值观：通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激发学生学习数学的兴趣。知层次知识点?识记理解应用综合知识点1定积分的概念和表7KV知识点2定积分的几何意义V知识点3定积分的求法和基本性质V目标设计1.定积分的概念2.定积分法求简单

2、的定积分3.定积分的儿何意义情境一：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限nn1"n1•气1土弃舶⑹•气1^^必)事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。那能否用一个统一的概念将它们都涵盖呢？定积分的概念：一般地，设函数/(X)在区间［€Z,/?］上连续，用分点将区间等分成A2个小区间，每个小区间长度为Ar(Av=^!),在每个小区间上取一点n<(/=1,2,..；/^作和况如果Av无限接近于0(亦即Z744OC)吋，上述和式S,,无限趋近于常数S,那么称该常数S为函数/(X

3、)在区间上的定积分。记为5=£/(%娥(其中6Z,/?分别叫做积分上限和积分下限，为积分区间，/(X)成力被积函数，X叫做积分变量，叫做被积式)。问题1:定积分主要取决于哪些因素？(被积闸数与积分卜.、下限)问题2:定积分的大小与积分变量所用字母有无关系？即⑶厶与(/⑺冰、£/⑻心是何关系？(三者相等)H问题3:定积分是不是等于Z/(€)Ax?(不是，应该是当Z7400时该式子的极限，是一个确定常数)/=!问题4:“函数/(X)在区间［6/，列上连续”是否可以去掉？为什么？(不可以。因为它是定积分存在的保证。实际上，函数连续是定积分存在的充分不必要条件)问题5:被积式办表示的是不是/00

4、和也的乘积，定积分的表示符号能否分割幵？(不是。记积分的表示符号是一个不可分割的整体)情境二：定积分的几何意义：从儿何上看，如果在区间［a,b］上的函数/(X)连续II恒有/U)20。那么定积分£/(x)也表示由直线5-Av)此时0ax=a,x=b本b、,:y=0和曲线y=/(x)所围成的曲边梯形的’面和。仔细研读定积分的几何意义，回答右面的问题问题1:若在区间［rz,/?］上，函数/(%)<0时，曲边梯形落在*轴的下方，f还等于曲边梯形的面积吗？(不等于。应该是其妞积的相反数，Ja^bf^x)dx=-S)问题2:当/(x)在区间［€/，/?］上有正有负时，定积分表示的应该是什么？(表示

5、介丁•JC轴，函数/(X)的图像及直线X=a，x=b(a*b)之间各部分面积的代数和。(在x轴上方的在几何意义上是否相同?取正，在X轴下方的取负))问题3:£/(%)也，£

6、/(x)

7、dr与£,fx)dx情境三：学生探宄：由定积分的定义及几何意义，你能否总结出求定积分的方法步骤？①分割：H等分区间②近似代替：取点③求和：；=in④取极限：f=lh-an例1:利用定积分的定义，计算£x3也的值。(参考公式：P+23+33+...a?=j/22(n+l)2)例2:说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值：(1)(2)(3%+2)也；【课堂练习】：利用定积分的定义求由y=0,y

8、=^,x=2围成的平而区域的而积。情境四：再探究：通过对例题的研究，试着自己得出定积分的基本性质性质1:^kf（x）cbc=k^f（x）dx（其中々是不为0的常数）性质2:£[/(x)±/2(x)]rfr=£(x)dx±£f2Mdx（以上两性质为定积分的线性性质）性质3:广f（x）dx=f'f（x）dx+Pf{x）dx（a

9、域的面积。思考？如何求奇、偶函数在区间［-Ad上的定积分？习题设计：7T1.由y=sinx,x=0,x=—,y=0所围成图形的而积写成定积分的形式:是（知识点1，易）22.定积分£/（X）6?X的大小（）（知识点1，易）A与/（a）和积分区间有关，与&的取法无关B与有关，与区间及&的取法无关C与/②和&的取法有关，与积分区间无关D与/（本区间和A的取法都有关3.定积分£cyZy（c为常数）的儿何意义是（知识点2，易）4.下列等式成立