高二新授课153定积分的概念

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1、1.5.3定积分的概念一、【教学目标】重点:定积分的概念、定积分的几何意义及简单的应用．难点：对定积分的概念的理解、求和取极限．知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景.用定积分的定义来求解简单函数定积分的求解步骤．能力点：能用定积分的定义求简单的定积分.教育点：使学生进一步提高对定积分的理解和应用．自主探究点：图形的面积与定积分之间的关系.考试点：了解定积分的几何意义.易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系.拓展点：函数定积分的性质及其应用．二、【引入新课】从求曲边梯形的面积以及求变速直

2、线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.；．事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限.【设计意图】回顾前面所学知识，做到温故而知新，起到承上启下的作用.三、【探究新知】1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：，即其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限

3、，积分下限.说明：⑴定积分是一个常数.⑵用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：.⑶曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功.2．定积分的几何意义如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积.如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积.说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号．3．定积分的性质性质1（其中是不为的常数）（

4、定积分的线性性质）性质2（定积分的线性性质）性质3推广：（1）（2）=++…+【设计意图】通过学生自主探究，进一步理解和掌握定积分概念的内涵和外延,培养学生归纳、概括、拓展、提出问题和解决问题的能力，使学生对知识的掌握上升一个更高的层次．四、【理解新知】定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为,而其定积分为.五、【运用新知】例1．（课本例题）利用定积分定义，计算的值解

5、：令，如图⑴．分割在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为⑵．近似代替、作和取，则⑶．取极限【设计意图】由学生通过具体的问题进行自学、探究，分组讨论、交流，进一步让学生感受这种以直代曲、化曲为直的极限法求定积分.例2．计算下列定积分（1）　（2）　（3）(枣庄市调研题)分析：所求定积分即为如图阴影部分面积即：思考：(1)若改为计算定积分呢？改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【设计意图】让学生理解定积分的几何

6、意义,会用数形结合求定积分.六、【课堂小结】1.利用定积分的定义求简单函数的定积分；2.利用定积分的几何意义求曲边图形面积(数形结合)；3.定积分性质的总结和简单应用.学习本节的目的就是增强学生对定积分概念相关知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．[设计意图]增强学生对定积分概念相关知识的理解，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．七、【布置作业】必做题：Ｐ５０Ａ第1、3、4、5题．选做题：　　　　　　　计算下列定积分1．；解：.2．.解：

7、.【设计意图】引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.在牢固抓住基础的前提下，让学有余力的同学得到更长远的发展.八、【教后反思】1.本节课内容主要是定积分的概念、几何意义、性质，让学生逐步理解和接受在区间选取的任意性。2．在教学中，鼓励学生独立思考探究，发现问题，寻求解决问题的方案．渗透了数形结合的数学思想．3.不足之处是用定义法求定积分时，给学生留得时间不充分。九、【板书设计】1.5.3定积分的概念复习回顾探究新知1、定积分的定义2、定积分的几何意义3、定积分的性质应用新知例1练习例2（1）（2）（3）练习课堂小结