12数列有界性问题的研究

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1、专题：数列有界性问题的研究一.问题提岀问题1:设数列｛a,】｝满足：a3=8,(aw+1-an-2)(2aw+I-aw)=O(nGN*),则a｝的值大于20的概率为.1数列的生成方式问题2：已知数列｛陽｝满足：6Z=m(m为正整数),中，当①为偶数时，3a”+1,当为奇数时。冇可能的取值为.4/5/32二、思考探究探究1：设数列｛坷｝满足：agN")是整数，且绻+1-①是关于兀的方程错误！不能通过编辑域代码创建对象。的根.(1)若6=4,且n>2时,4<<8,求数列｛%｝的前100项和S100；(2)若a,=-8,a6=l,S.an

2、+i—an是关于x的方程x2+(an+i—2)x—2an+i=0的根,可得:(色+1一色—2)(2%-舛)=o(ngnJ,所以对•一•切的正整数斤，an+l=afl+2或％+1,若a】=4,£Ln>2时，4

3、,3因为a6=l,所以数列也」的前6项只能是-8,-6?-4,-2,-1,1mh>4,/?g7V*时，°间=色+2所以，数列｛编｝的通项公式是:探究2:在数列｛“｝中，已知d]=l,且对于每个〃WN+，04/厂3，尬-2‘。4旷1成等差数列，其公差为2，如-1，如，如+】成等比数列，公比为］（1）令0”=%-1（"司+）,求数列｛%｝的通项公式;（2）是否存在常数M,对任意正整数n,a”WM恒成立？若存在求M的最小值，若不存在，请说明理由.71Q5X解：（1）由题设可知：如=5,仇=^~,…，i般地，令bn=^T.、叶

4、x因为如-1，血“，如+1成等比数列，公比为㊁，所以C7亦1写，乂因为他

5、时1，如+2，。4”卜3成等差数列公差为2,所以仇+1=。4卄3=^+4与+4.①①式两边同加上一¥得仇+1—学=

6、血一¥）,所以｛仏一¥｝成等比数列公比为土，首项/?!—■y=—所以^-y=-

7、x（

8、y?*.所以z?n=y-

9、x（

10、y?（2）因为bll+-hn=（^n>Of所以数列｛仇｝是严格单调递增由于对每个正整数〃，心旷］是%-3,%-2,%-1，%，%+1中的最大数,故得当WW4m+1时,族Wa4n-而。4“-1=兀=^—*X（+）"T<学，所以对每个正整数”，又若C•是小于学的任意一数，令心¥—少0,则当Qlog4土+1时，a4n->c.c不是数列｛禺｝上界.综上所述，存在常数

11、M,对任意正整数弘恒成立，且M的最小值为乎.三、真题链接1.（2012年江苏高考题）已知各项均为正数的两个数列仗”｝和｛化｝满足：%产‘+化匸，/证2・血7（1）设仇+】=1+—,ngN",求证：数列5是等差数列;=x/2A,nGN且｛%｝是等比数列,求坷和勺的值.证明:（1）由色+］,ngN*,b、=1+—,neN",血云7色乩）2_（如）2=（1+如）2半耗上仃anan（%+仇）所以数列是公差为1的等差数列.2_暫+化n+l（2）"心>0*P“+Z+订,从而珀=丸，„e2J+仇皿*,设等比数列他｝公比9，由0知g>0.下证9=1.屁+兀若q〉1,则a}=—log

12、—时,an+1=axqn>V2与*矛盾,6若0vqvl,则ax=^>a2>1,故当n>log—时，an^=axqn<1与*矛盾,q〜％ban+1综上g=l,故an-a[y(ngN*),r.1<1.于是h{

13、数列伉｝的通项公式（用仏d表示）②设c为实数，对满足m+n=3kHjni=-n的任意正整数m,n,k,不等式S”?+SH>cSk都成立。求证：c9的最叫•四、反思提升五、反馈检测1-已知数列｛色｝的各项均为正整数，其丽5项和为若an+寸，陽是偶数，且5=29,则3%+1,%是奇数,.5；7/1+222.数列｛%｝满足at=ae(0,1],且％】ci—1———,an>1,5若对于任意的neN总有％+3=色成