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《9数列单调性问题的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题：数列单调性问题的研究一、问题提出问题1：若色=/?2+加+3（其小Q为实常数），且数列｛%｝为单调递增数列，则实数；I的取值范围为•问题2：数列血｝满足碍=加一5〃+3（2为实常数）,其中neN且数列仏｝为单调递增数列,则实数几的取值范围为.问题3:通项公式为an=6777探究2：数列｛。“｝满足：a=5,。卄]—a“=p2（a”+i+a”）+15,数列｛%｝的前〃项和为S”满足：S“=2（l—仇）・证明：数列a+厂為｝是一个等差数列，并求出数列｛如的通项公式；求数列｛幅的通项公式，并求出数列匕如的最人项.解：（1）令n=l得5=p2（d2+5）
2、+15,解得0=12,由已知得+n的数列｛%｝,若满足Q]V勺VV。4V，且an>Q”+l对nn8恒成立,则实数G的取值范围是.问题4：数列｛勺｝满足①=旳-催1（乃丘矿），最小项为第项；最大项为第项w—a/2012问题5：数列仏｝满足色=——（2为实常数，nH,最大项为逐，最小项为色，2,7-17则实数2的取值范围为•问题6：数列仏”｝的通项公式为aw=-k+-2k,若对任意正整数〃,aw>a3=a4均成立，则实数k的取值范围是二、思考探究探究1：已知为两个正数，且a〉b,设q=纟丈色，勺=/Jb，当n>2且〃wN*时，a”二也丄色』，22h
3、n=^n-lhn-l（1）证明：数列｛陽｝为单调递减数列；数列｛»｝为单调递增数列（2）证明：一乞+]<*（Q”_仇）（1）易知对4丫1纟fiWN，■:i对任总.4>b.・a.+6bn—aMa-2斗=_2~—b.=Ja”b.—b.='f^S-/«7._卜=a・+b”严一——Jag»()♦&■>0•由a>0J)>0・a/bfnJ知—•y/ah•U
4、lcii>fh・IH1"卩•一•»0•所以数列｛aJM单调递减数列.•♦2J'4£说明比较相邻曲项的欠小是研究离敢型变lit•T*涮件的滋川方法./□>（）•所以数列仏>足炉M递增数列•s+久—k-Ao.-九）.a
5、+1—a,；）2=2（d”+］+a”）+15①©+2—a”］）?=2（q“+2+g汁J+15②将②—①得（0”+2一a”）a+2—2q”+i+a”）=2（如2—如，由于数列S”｝单调递增，所以為+2—外工0,于是a“+2一2a”+1+a“=2,即（g“+2—给+1）—（a“+1—如）=2,所以｛禺+1—外｝是首项为7,公差为2的等差数列，于是4汁1一a”=7+2（n—1）=2巾+5,所以an=（0厂如）+（如一％2）（。2—0
6、）+。1=（2n+3）+（2n+1）7+5=n（n+4）.2（2）在S„=2（1—bn）中令刃=1得b｛=2（1—Ai）,解得bx
7、=y因为5„=2（1—仏），必+i=2（1一九+］）,相减得bn+i=一2治］+2仇，即3bn+i=2九，所以初”｝是首项和公比27?9均为§的等比数列，所以加=（寸".从而给几=心+4）（亍）〃.设数列｛必〃｝的最大项为加忖则有驱+4）（訝2223伙+1）伙+5）（亍卢且斤伙+4）（亍）'3仇一1）伙+3）（亍）1,、1o所以Z?M10,且&—2k—9W0,因为k是白然数，解得k=4.所以数列｛eAJ的最大项为a4b4=探究3：已知数列｛禺｝的首项g=gS堤数列©｝的前〃项和，H•满足：£=3刃％+3上］,刃22,w^N*.（1）若数列｛如｝是等差数列，
8、求a的值；（2）确定。的取值集合M,使a^M时，数列｛禺｝是递增数列.解:（1）在S^=3n2an+Sn-｛中分别令w=2,n=3,Ra｛=a得（a+d2）2=1202+/，（a+d2+a3）2=27a3+（a+a2）2，因为a#0,所以a2=12-2a,a3=3+2a.因为数列｛d“｝是等差数列，所以Qi+d3=2d2，即2（12—2口）=。+3+2口，解得q=3.经检验a=3时，an=3n,S〃=珈；+1）,〕=%（：】）满足£=3n2atJ+SfJ-1.（2）由£=3&+S,i，得g-S乙=3仏,即（S”+S“—i）（S”-S“—】）=3&,即（S”
9、+S”-Jg”=3/7%，因为g,#0,所以S”+S”-］=3/,（〃22）,①所以S“+］+S”=3S+l）2,②②一①，得a”+i+a“=6〃+3,（”32）.③所以Q”+2+Q“+i=6n+9,④④一③，得Q卄2一a〃=6,（乃$2）即数列G，%。6,…，及数列。3,。5,如，…都是公差为6的等差数列，因为6=12—2°,a3=3+2a.a,n=,所以an=<3”+2g—6,〃为奇数且3〃一2a+6,刃为偶数，要使数列｛為｝是递增数列，须有G]10、+2°—6V3(n+l)—2a+6(n为大于或等于3的奇数)，3A
