2005年—2012年全国各省市高考数列解答题中的递推数列的单调性和有界性问题

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1、2005年—2012年全国各省市高考数列解答题中的递推数列的单调性和有界性问题1．（2005年福建卷，理22）已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+，我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn}满足b1=－1,bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；（Ⅲ）若，求a的取值范围.解：(Ⅰ)∵a1=a,∴1+=a2,∴a2=,,,故当时,。(Ⅱ)∵b1=-1,当a=b1时,a1=1+=0；当a=b2时,a2==b1,∴a2=0,当a=b3时,a3=1+=b2,∴a3=

2、1+,∴a4=0,……一般地,当a=bn时,an+1=0,可得一个含育n+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,an+1.可用数学归纳法加以证明：①当n=1时,a=b1,显然a2=0,得到一个含2项的有穷数列a1,a2.②假设当n=k时,a=bk,得到一个含有k+1项的有穷数列a1,a2,a3,…,ak+1,其中ak+1=0,则n=k+1时.a=bk+1,∴a2=1+.由假设可知,可得到一个含有k+1项的有穷数列a2,a3,…,ak+2,其中ak+2=0.由①②知,对一切n∈N+,命题都成立.(Ⅲ)要使即,∴1

3、∵(,2)(1,2),递推数列的单调性和有界性第30页共30页∴只须当a4,都有由得,解不等式组得,故a>0.2．（2005年湖北卷，理22）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足（Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有（Ⅰ）证法1：∵当即于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即递推数列的单调性和有界性第30页共30页则即当n=

4、k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（Ⅱ）有极限，且（Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有3．（2005年江西卷，理21）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴，命题正确.2°假设n=k时有则而递推数列的单调性和有界性第30页共30页又∴时命题正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，∴；2°假设n=k时有成立，令，在[0，2]上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时成立，所以对一切（2）下面来求数列的通项：所以,又bn=－1，所以.4．（2

5、005年辽宁卷，理19）已知函数．设数列满足，，数列满足，…，(Ⅰ)用数学归纳法证明；(Ⅱ)证明．（Ⅰ）证明：当因为a1=1，所以……2分下面用数学归纳法证明不等式（1）当n=1时，b1=，不等式成立，（2）假设当n=k时，不等式成立，即那么……6分递推数列的单调性和有界性第30页共30页所以，当n=k+1时，不等也成立．根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．……8分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，所以……10分故对任意……12分5．（2005年重庆卷，理22）数列{an}满足.（Ⅰ）用数学归纳法证明：；（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n

6、=2时，，不等式成立.（2）假设当时不等式成立，即那么.这就是说，当时不等式成立.根据（1）、（2）可知：成立.（Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有两边取对数并利用已知不等式得故上式从1到求和可得递推数列的单调性和有界性第30页共30页即（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证成立，故令取对数并利用已知不等式得上式从2到n求和得因故成立.6．（2006年湖南卷，理19）已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0＜a1＜1，an+1=f(an)，n=1，2，3，…．证明：(Ⅰ)0＜an+1＜an＜1；(Ⅱ)an+1＜an3．证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明0＜an＜1，n=1，2，

7、3，…．(ⅰ)当n=1时，由已知，结论成立．(ⅱ)假设当n=k时结论成立，即0＜ak＜1．因为0＜x＜1时f′(x)=1-cosx＞0，所以f(x)在(0，1)上是增函数．又f(x)在[0，1]上连续，从而f(0)＜f(ak)＜f(1)，即0＜ak+1＜1-sin1＜1．故当n=k+1时，结论成立.由(ⅰ)、(ⅱ)可知，0＜an＜1对一切正整数都成立．又因为0＜an＜1时，an+1-an=an-sinan-an=-sinan＜0，所以an+1＜an.综上所述0＜an+