资源描述:
《2019高考数学一轮复习专题突破13【导数法巧解单调性问题】》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2019高考数学一轮复习专题突破13【导数法巧解单调性问题】考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项武函数不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极人值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性(1)用导数证明函数的单调性证明函数单调递增(减),只需证明在函数的定义域内/(“)》(s)o(2)用导数求函数的单调区间求函数的定义域D->求导f(力->解不等式f(力>(<)0得解集p->求D尸,得函数的单调递增(减)区间。一般地,函数/(")在某个区间可导,/(兀)>0亠
2、/(兀)在这个区间是增函数一般地,函数/(兀)在某个区间可导,/'(兀)<0亠/(兀)在这个区间是减函数(3)单调性的应用(己知函数单调性)■一般地,函数/(X)在某个区间可导,/(X)在这个区间是增(减)函数=/%(<)°【注】①求函数的单调区间,必须优先考虑函数的定义域,然后解不等式/(兀)>(<)0(不要带等号),最后求二者的交集,把它写成区间。②己知函数的增(减)区间,应得到/(X、(<)0,必须要带上等号。I③求函数的单调增(减)区间,要解不等式/(兀)>(<)0,此处不能带上等号。④单调区间一定要写成区间,不能写成集合或不等式;单调区间般都写成开区间,不要写成闭区间;如果一种区
3、间有多个,中间不能用“"连接。应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】1.【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数f(x)=(x-2)7+-ax2一ax.2(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a=1,当x>0时,f(x)hkx-2,求k的取值范围.【答案】(1)见解析⑵(—8,—2]【解析】【分析】⑴求出导函数rw,按a的范围分类讨论fo)的正员,可得单调性;(2)令gO)=fO)-/ex4-2=(x-2)e*+£好一光一/cx+2>有gr(x)=(x-l)e*4-x一1一k.>令h(x)=(x-l)e*4-x-1-/c,有/^(刃二尤尸+由>0得卅O)>0,
4、即h(>)单调递増,从而得05>03)=-k-2,按7-2上0和7-2<0讨论巩Q的单调性和最值,从而得出结论.【详解】(1)由题意得x6R.fr(x)=(x—l)(ex4-(i)f当a>00寸〉当xE(-co.05f(Q在(-co.1)单调递减,在(t+00)单调递増,当a<00寸,令厂(x)=0得鼻==】n(-a)>当a<-efl寸,xE(-oo.lXpCx)>Oj当xE(1.ln(-a))B寸,f©CO;当无E(lnC-a),4-co)fl寸>fr(QA0;所以f®在(-gD(In(-必+8)单调递増,在(ljln(-a))单调递减;②当a=-
5、e时,f'(x)nO,所以f(x)在R单调递增,③当—e0;当xG(ln(—a);1)时,f,(x)V0;当xG(l,+8)时,f'(x)>0;•If(x)在(-oojn(-a))z(1,+8)单调递增,在(ln(-a),1)单调递减;(2)令g(x)=f(x)一kx+2=(x-2)ex+-x2一x-kx+2,有g'(x)=(x-l)ex+x—1一k,2令h(x)=(x—l)ex+x—1—k,有h,(x)=xex+1,当x>0时,h'(x)=xex+1>0,h(x)单调递增./•h(x)>h(0)=—2—k,即g'(x)>—2—k.当一2—k
6、20,BPk<-2时,g'(x)>0,g(x)在(0,+8)单调递增,g(x)>g(0)=0,不等式f(x)>kx-2恒成立,②当-2—kv0,k>-2时,gz(x)=0有一个解,设为X。根,・••有x6(O,Xo),y(x)<0,g(x)单调递减;当xE(x°,+8)时,gz(x)>0;g(x)单调递增,有g(x0)kx-2不恒成立;综上所述,k的取值范围是(一8,-2].【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,研究不等式恒成立问题,不等式恒成立常常转化为求函数的最值,本题设0G)=fd)-上x+2,确走在[0,+8)上的最小值,如果此最小值Z0
7、则符合题意,若此最小值V0,则不合题意.当然在求HQ)的零点时,可能还要对0©)求导,以确定零点.【例2】[2018年高考考前猜题卷Z专家猜题卷】已知曲线f(x)=lnx+-的一条切线过点(0,1).X(I)求m的取值范I韦];(II)若m=1,g(x)=x—lnx—af(x)+2.①讨论函数g(x)的单调性;②当a=-2时,求证:g(x)8、;⑵①见解析.②见解析.乙【解析】【分析】(1)