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1、一类三角形的面积比问题定理在AABC中，点P满足APA+vPC=O(A,R且
2、2
3、+制+MH0),则；I+“+1/工0,S型BC:SAPCA:SAPAB=Ml:H:M(当P，B,C共线时,约定Shbc=°；当ECA共线时，约定=0；当共线时，约定Sg3=0）・证明以射线AB为兀轴，线段AB的屮垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图1所示）.设A(-w,0),B(w,0),C(v,w),得mH0.又设P(x,y),rtl2PA+jliPB+vPC=6W2AP+//BP+vCP=6.所以A(x+w,y)+/li{x-u.y)^v(x-v.y-
4、w)=(0,0)(A+//+v)y=vw若/I+//+v=0,得vw=0,因为uwhO,所以v=0,得A+//=v=0.W2+“+1/再由APA+//PB+vPC=O,得aIb=6,2=0,所以A=//=V=O,这与题设冈+制+»卜0矛盾！所以几+“+VHO,得尸2Sa心—AA+jLl+VSaABCA+//+vv兄+“+“有，PBCV同理,又因为C（几⑷），所以所以S冲BC:SapcA：S加=冈：制：M.定理获证.注有很多文献(比如文献[1])也研究了以上定理的结论，但都限定了入“vwR+・推论1若点P在WC内，则PA+SACPAP
5、B+PC=0.推论2⑴若点G是ABC的重心，则G4+GB+GC=0；二HMCM同理，有沁■Smbc1tanCtanAS、bhcSmbc1tanBtanC(2)若点I是AABC的内心,则aIA^bIB+c/C=0(英屮。=BC#=CA,c=AB)；(3)若点0是锐角AABC的外心，则(sin2A)OA+(sin2B)OB+(sin2C)OC=0；⑷若点H是锐角AABC的垂心，贝ij(tan4)/£44-(tanB)//B+(tanC)//C=0.证明⑴在ABC设射线4G交于点D由点G是^ABC的重心，得AD=3GD,所以S^BGC=
6、-SABAC.同理，可得S、bgC=S、cgA=SAAGB=S^BAC-再由推论1,立得欲证结论成立.(2)可设MBC的内切圆的半径是厂，得ACM・再由推论1,立得欲证结论成立.(3)可设AABC的外接圆OO的半径是得Smoc:Shoa:S^ob=*疋sinZ.BOC:+R2sinZCOA:+R2sinZAOB=sin2A:sin2B:sin2C再由推论1,立得欲证结论成立.(4)如图2所示，设CHcAB=M,BHcAC=N,得BMtanZHBM_1BA/tanBtanAtanB所以Smm:Sg/4:Sm朋=tanA:tanB:tan
7、C,再由推论1可得欲证.图2下面举例说明以上诸结论的应用.题1（2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题）设M为ABC内一点,11且AM=-AB+-AC，则与AABC的面积之比为（）45A1c2厂2小1A.—B.—C.—D.—5354解A.可得0=20顾+5乔+4屁二・・・=11莎+5期+4尿，由定理得与ABC的面积Z比为=—・11+5+45题2（2008年全国高屮数学联赛（吉林赛区）预赛暨2008年吉林省高屮数学竞赛试题第3题）已知A、RC是平面上不共线的三点，G是AABC的重心，动点P满足GP=-[-GA」GB2G
8、f,则点P—定为口3(7的(3(22)A.4B边上中线的中点B.AB边上中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点解B.由题设及推论2（1）,可得6GP=GA+GB+4GC=3GC,GC=2GP所以选B.题3（2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试第5题）如图3所示，设P为述C内一点，且仆轴+护则ABP的血积与ABC的血积之比等于（）C.-D.-图3解A•可得2PA+2PB+PC=0,再由定理可得答案.题4（2004年全国高中数学联赛第一试第4题）设点O在AABC的内部，且有Q4+2OB+3OC=0，则MBC的血积
9、与AOC的面积的比为（）A.25C.3D.-3解C.由定理可得AABC的面积与AOC的面积的比为1+2+3=3.2题5（2012年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第14题）设O为MBC内一点，且AO=-AB^-AC,则ACMB的面积与AOBC的面积比为343—-—-—-解？.可得50A+403+30C=0,再由定理1（3）可得答案.题6（2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题第4题）已知点O在MBC内部，—.—-—-—-V且3AB+2BC+C4=4AO,记MfiC的面枳为S「OBC的面积为S?,则一1的值为.解2.可得2页+
10、而+况=0,再由定理可得答案.题7（2012年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题第7题）已知P在AABC所在平面内一点，^^~PA-~PB-~PC=BC,则MSP与MBC的面积之比为.解2:1.可得用—0两—2元=0,再由
