一类三角形的面积比问题

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1、一类三角形的面积比问题定理在中，点满足R且，则，当共线时，约定；当共线时，约定；当共线时，约定．证明以射线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系(如图1所示).图1设，得．又设，由得，所以若，得，因为，所以，得．再由，得，所以，这与题设矛盾！所以，得．又因为，所以．同理，有．所以.定理获证．注有很多文献(比如文献[1])也研究了以上定理的结论，但都限定了R．推论1若点在内，则0．推论2(1)若点是的重心，则0；(2)若点是的内心，则0(其中)；(3)若点是锐角的外心，则0；(4)若点是锐角的垂心，则0．证明(1)在中，设射线A

2、G交BC于点D.由点是的重心，得，所以.同理，可得.再由推论1，立得欲证结论成立.(2)可设的内切圆⊙的半径是r，得再由推论1，立得欲证结论成立.(3)可设的外接圆⊙的半径是R，得再由推论1，立得欲证结论成立.(4)如图2所示，设，得同理，有．所以，再由推论1可得欲证．图2下面举例说明以上诸结论的应用.题1(2008年西北工业大学自主招生高考测试数学试题第6题)设为内一点，且，则与的面积之比为()A.B.C.D.解A.可得0，由定理得与的面积之比为．题2(2008年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛暨2008年吉林省高中数学竞赛试

3、题第3题)已知是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足，则点一定为的()A.AB边上中线的中点B.AB边上中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点解B.由题设及推论2(1)，可得所以选B.题3(2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试第5题)如图3所示，设为内一点，且，则的面积与的面积之比等于()A.B.C.D.图3解A.可得0，再由定理可得答案.题4(2004年全国高中数学联赛第一试第4题)设点在的内部，且有0，则的面积与的面积的比为()A.2B.C.3D.解C.由定理可得的面积与的面积的比为.题5(2012年

4、全国高中数学联赛山东赛区预赛试题第14题)设为内一点，且，则的面积与的面积比为.解.可得0，再由定理1(3)可得答案.题6(2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题第4题)已知点在内部，且，记的面积为，的面积为，则的值为.解2.可得0，再由定理可得答案.题7(2012年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试题第7题)已知在所在平面内一点，满足，则与的面积之比为.解2:1.可得0，再由定理可得答案.题8(2011年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题(高二年级)第1题)已知是所在平面上一点，满足，则与的面积之比为.解.可得0，再由定理可得答

5、案.题9设是的垂心，.若，则.解.可求得，所以是锐角三角形.由，得0．由推论2(4)，可得题10(2008年南京大学自主招生试题第3题)设是内任意一点，证明：0．(显然，该题就是推论1．)题11在所在的平面上求一点，使取最小值.解设的重心为点G，由推论2(1)，可得所以当且仅当点是的重心G时，取最小值.题12在中，.若M是的内切圆⊙上的任意一点，试判断是否为定值？并说明理由.解设⊙的半径为r，由推论2(2)，可得由题设可知，均为定值，所以为定值.题13在中，成递增的等差数列，点G，I分别为的重心和内心，求证：.证明设为所在平面上

6、的任一点，由推论2(1)可得0再由推论2(2)，得0再由，得所以所以.题14已知的外接圆⊙的半径是R，内切圆⊙的半径是r，求证：.证明设.由推论2(2)，(详细过程见题13的解答)可得所以参考文献1吕辉.三角形面积比问题的解法探究[J].中学生数学，2010(4上)：21