对数函数知识点及典型例题讲解-(3970)

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1、--对数函数知识点及典型例题讲解1．对数：(1)定义：如果abN(a0,且a1)，那么称为，记作，其中a称为对数的底，N称为真数.①以10为底的对数称为常用对数，log10N记作___________．②以无理数e(e2.71828)为底的对数称为自然对数，logeN记作_________．(2)基本性质：①真数N为(负数和零无对数)；②log10；③logaa1；a④对数恒等式：alogaNN．(3)运算性质：①loga(MN)＝___________________________；②logaM＝____________________________；

2、Nn(n∈R).③logaM＝④换底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)⑤logmbnnabam.2．对数函数：①定义：函数称为对数函数，1)函数的定义域为(；2)函数的值域为；3)当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4)函数ylogax与函数yax(a0,且a1)互为反函数.②1)图象经过点()，图象在；2)对数函数以为渐近线(当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴)；4)函数y＝logax与的图象关于x轴对称．③函数值的变化特征：0a1a1①x1时①x1时②x1时②x1时③0x1时③

3、0x1时-----例1计算：（1）log(23)23-----1-----（2）2(lg2)2+lg2·lg5+(lg2)2lg21;（3）1lg32-4lg8+lg245.2493解：（1）方法一设log(23)=x,(2+3)x=2-3=1=（2+3）-1,∴x=-1.2323方法二log23(23)=log231=log23(2+3)-1=-1.23（2）原式=lg2（2lg2+lg5）+(lg2)22lg21=lg2(lg2+lg5)+

4、lg2-1

5、=lg2+(1-lg2)=1.（3）原式=1（lg32-lg49）-4lg811lg2452+232=

6、1(5lg2-2lg7)-4×3lg2+1(2lg7+lg5)2322=5lg2-lg7-2lg2+lg7+1lg5=1lg2+1lg52222=1lg(2×5)=1lg10=1.222变式训练1：化简求值.（1）log27+log12-1log242-1;4822（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log32+log92)·(log43+log83).解：(1)原式=log27+log212-log42-log22=log2712133.2log22log222484842222（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2

7、+lg25=lg100=2.（3）原式=(lg2lg2lg3lg33lg25lg35.lg32lg3)·()2lg3·42lg23lg6lg-----22例2比较下列各组数的大小.（1）log32与log56;2）log1.10.7与log1.20.7;35-----（3）已知log1b＜log1a＜log1222bac的大小关系.c,比较2,2,2-----解：（1）∵log32＜log31=0,而log56＞log51=0,∴log32＜log56.3535(2)方法一∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,∴0＞log0.71.1log0.71.2,∴11

8、,log0.71.1log0.71.2即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.-----2-----如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y=log1x为减函数，且log1blog1alog1c,2222∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.-----变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则A.log1logablogb1abbC.logab1loga1logbD.bbloga1,logab,logb1的大小关系是（）

9、bbB.logab11logalogbbb11logbblogablogab-----解：C例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有

10、f(x)

11、≥1成立，试求a的取值范围.解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.所以，

12、f(x)

13、=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.因此，要使

14、f(x)

15、≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜

16、0,∴

17、f(x)

18、=-f(x).∵f（x）=loga