对数函数知识点及典型例题讲解

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1、对数函数知识点及典型例题讲解1.对数:(1)定义:如果,那么称为,记作,其中称为对数的底,N称为真数.①以10为底的对数称为常用对数,记作___________.②以无理数为底的对数称为自然对数,记作_________.(2)基本性质:①真数N为(负数和零无对数);②;③;④对数恒等式:.(3)运算性质:①loga(MN)=___________________________;②loga=____________________________;③logaMn=(n∈R).④换底公式:logaN=(a>0,a≠1,m>0,

2、m≠1,N>0)⑤.2.对数函数:①定义:函数称为对数函数,1)函数的定义域为(;2)函数的值域为;3)当______时,函数为减函数,当______时为增函数;4)函数与函数互为反函数.②1)图象经过点(),图象在;2)对数函数以为渐近线(当时,图象向上无限接近y轴;当时,图象向下无限接近y轴);4)函数y=logax与的图象关于x轴对称.③函数值的变化特征:①②③①②③例1计算:(1)4(2)2(lg)2+lg·lg5+;(3)lg-lg+lg.解:(1)方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==(2

3、+)-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解==(2+)-1=-1.(2)原式=lg(2lg+lg5)+=lg(lg2+lg5)+

4、lg-1

5、=lg+(1-lg)=1.(3)原式=(lg32-lg49)-lg8+lg245=(5lg2-2lg7)-×+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=.变式训练1:化简求值.(1)log2+log212-log242-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)(log32+

6、log92)·(log43+log83).解:(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.(3)原式=(例2比较下列各组数的大小.(1)log3与log5;(2)log1.10.7与log1.20.7;(3)已知logb<loga<logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解:(1)∵log3<log31=0,而log5>log51=0,∴log3<log5.(2)方法一∵0<0.7<1,1.1<1.

7、2,∴0>,∴,即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7.4方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7<log1.20.7.(3)∵y=为减函数,且,∴b>a>c,而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c.变式训练2:已知0<a<1,b>1,ab>1,则loga的大小关系是()A.logaB.C.D.解:C例3已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有

8、f(x)

9、≥1成立,试求a的取值范围.解

10、:当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0.所以,

11、f(x)

12、=f(x),而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数,∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.因此,要使

13、f(x)

14、≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3.当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,∴

15、f(x)

16、=-f(x).∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数,∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.∴对于任意x∈[3,+∞)都有

17、f(x)

18、=-f(x)

19、≥-loga3.因此,要使

20、f(x)

21、≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,只要-loga3≥1成立即可,∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a<1.综上,使

22、f(x)

23、≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取值范围是:(1,3]∪[,1).变式训练3:已知函数f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1-]上是单调递减函数.求实数a的取值范围.解:令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=(x-)2-a-,由以上知g(x)的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log2g(x)的

24、底数2>1,在区间(-∞,1-]上是减函数,所以g(x)=x2-ax-a在区间(-∞,1-]上也是单调减函数,且g(x)>0.4∴解得2-2≤a<2.故a的取值范围是{a

25、2-2≤a<2}.例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点,分别过A、B作y轴的平行

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