对数函数知识点及典型例题讲解

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1、对数函数知识点及典型例题讲解1．对数：(1)定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数.①以10为底的对数称为常用对数，记作___________．②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________．(2)基本性质：①真数N为(负数和零无对数)；②；③；④对数恒等式：．(3)运算性质：①loga(MN)＝___________________________；②loga＝____________________________；③logaMn＝(n∈R).④换底公式：logaN＝(a>0，a≠1，m>0

2、，m≠1，N>0)⑤.2．对数函数：①定义：函数称为对数函数，1)函数的定义域为(；2)函数的值域为；3)当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4)函数与函数互为反函数.②1)图象经过点()，图象在；2)对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；4)函数y＝logax与的图象关于x轴对称．③函数值的变化特征：①②③①②③例1计算：（1）4（2）2(lg)2+lg·lg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==

3、（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解==(2+)-1=-1.（2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+

4、lg-1

5、=lg+(1-lg)=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245=(5lg2-2lg7)-×+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=.变式训练1：化简求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log

6、32+log92)·(log43+log83).解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(例2比较下列各组数的大小.（1）log3与log5;（2）log1.10.7与log1.20.7;（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5.(2)方法一∵0＜0.7＜1,1.

7、1＜1.2,∴0＞,∴,即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.4方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y=为减函数，且,∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是（）A.logaB.C.D.解：C例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有

8、f(x)

9、≥1成立，试求a的取值

10、范围.解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.所以，

11、f(x)

12、=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数，∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.因此，要使

13、f(x)

14、≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,∴

15、f(x)

16、=-f(x).∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.∴对于任意x∈［3，+∞）都有

17、f(x)

18、

19、=-f(x)≥-loga3.因此，要使

20、f(x)

21、≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，只要-loga3≥1成立即可，∴loga3≤-1=loga,即≤3,∴≤a＜1.综上，使

22、f(x)

23、≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.解：令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=（x-）2-a-,由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=lo

24、g2g(x)的底数2＞1,在区间（-∞,1-］上是减函数，所以g(x)=x2-ax-a在区间（-∞,1-］上也是单调减函数，且g(x)＞0.4∴解得2-2≤a＜2.故a的取值范围是{a

25、2-2≤a＜2}.例4已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行