全等型几何探究题

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1、一、全等型几何探究题：通过等腰三角形、等边三角形、正方形、等腰直角三角形等为探究依托，寻找边角相等的依据后证明a=b型结论或a+b=c型结论，然后通过平移、旋转和轴对称等图形变换继续寻求结论是否成立：a二b型结论恒成立，方法类似；a+b=c型结论往往发生位置变化，比如a+c=b或b+c=a,用类似方法证明：例仁如图1,点A是线段BC±一点，AABD和AACE都是等边三角形.(1)连结BE,CD,求证：BE二CD：(2)如图2,ABD绕点A顺时针旋转得到厶ABD.①当旋转角为度时，边AD落在AE±；②在①的条件下，延长DD'交CE于点P,连接BDCD，.当

2、线段AB、AC满足什么数量关系时，ZXBDD'与厶CPD'全等？并给予证明.图1图2例:2：(1)问题发现如图1,和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上,连接BE.填空：①ZAEB的度数为；②线段AD.BEZ间的数量关系为・(2)拓展探究：如图2,/XACB和均为等腰直角三角形，ZACB=ZZ)CE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为/DCE屮DE边上的高，连接BE请判断ZAEB的度数及线段CM、AE.BE之间的数量关系，并说明理由.(1)解决问题：如图3,在正方形ABCD中,CD=VL若点P满足PD=1,HZBPD=90。,请直接写出点A到3

3、P的距离.图1图2例3：(1)操作发现：如图①，D是等边AABC边BAI：一动点(点蜀与点B不重合)，连接DC,以DC为边在BC±方作等边ADCF,连接AF.伤〈能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论.(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边AABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？(3)深入探究：I.如图③，当动点D在等边AABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC±方、下方分别作等边ADCF和等边ZXDCF',连接AF、BF',探究AF、BF，与AB有何数量

4、关系？并证明你探究的结论.II・如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③和同，I屮的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.例4：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，ZAEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读卜•面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题.图图1图2图3(1)探究1：小强看到图(1)后，很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但AABE和AECF显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点E是边BC的小点，因此可以选取AB的屮点

5、M,连接EM后尝试看去证△AEM9EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1,取AB的中点M,连接EM.・・•ZAEF=90°・•・ZFEC+ZAEB=90°又TZEAM+ZAEB=90°AZEAM=ZFEC•点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点AAM=EC乂可知ZBME是等腰直角三角形.*.ZAME=135O乂TCF是正方形外角的平分线・•・ZECF=135°AAAEM^AEFC(ASA)・AE=EF(2)探究2：小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成

6、立，请你证明这一结论.(3)探究3：小强进一步述想试试，如图3,若把条件“点E是边BC的中点〃改为“点E是边BC延长线上的一点〃，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由.例1：某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1,正方形ABCD中，AB=6,将三饬板放在正方形ABCD上，使三介板的玄角顶点与D点重合.三角板的一•边交AB于点P,另一•边交BC的延长线于点Q.(1)求证:DP=DQ：(1)如图2,小明在图1的基础上作ZPDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的

7、数量关系，请猜测他的结论并予以证明；(2)如图3,固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P,另一边交BC的延长线于点Q,仍作ZPDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连接PE,若AB：AP=3：4,请帮小明算出ADEP的面积.