力学近似分析方法之逐次渐近法

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1、逐次渐近法在用能量法进行计算时,必须先假设变形曲线，而且所假设的变形曲线対计算结果的误差有决定性的影响。究竟如何选取变形曲线才能接近于精确解呢?逐次渐近法提供了一种较好的办法。此外，对于精确解为未知或比较复杂的惜况,用渐近法能提供临界荷载的上限和下限，可以估计近似解的精确度，通过逐次渐近计算便可得到所需的精确度。用渐近法计算临界荷载吋，先取任一满足几何边界条件的曲线作为初始变形曲线，杆件的弯矩町以轴力P与挠度來表示，将其代入微分方程，用重积分法或其他方法得到变形曲线的表达式，从而得到一个临界荷载

2、值。如果原设定的变形Illi线刚好是正确的，则求解微分方程所得的变形曲线与原先所设的曲线必定相同，而如果选择的初始曲线是近似的，则积分示得到的变形曲线与原曲线将冇区别。换句话说，原先设定的变形形式不是实际的屈曲平衡形式。为了寻求新的变形形式，可以第一次计算所得的曲线为基础作为真实挠度曲线的一个新的近似解。重复上述计算，乂得到一个新的变形曲线，求得另一临界荷载近似值，它比前一个临界荷载近似值更接近于精确值。继续进行计算，直到假设的与计算的变形形式相差很小为止，这吋相应的临界荷载就将接近于粕确解了。

3、现以图la所示的间端饺支等截面压杆为例來说明。其屈曲时的平衡微分方程为(1)EIv=-Pv积分两次后，得到其弹性Illi线表达式为(2)以实际的变形111!线表达式仄兀）及临界荷载P代入式（2）的右边，按式（2）算得的v（x）与实际的变形曲线必然相同。但若右边代入的为近似变形曲线v0（x）,则按上式算得的儿（兀）与v0（x）就会冇区别，不过儿（兀）比心（兀）更接近于实际变形曲线。若又以片（兀）代入式（2）的右边进行积分，则又可得到一个新的变形Illi线v2（x）o由卩2（兀）乂可求得冬（兀）等等

4、，依此类推。这种递推关系可写为一般形式pXX=-\vn_Sx)dxdx匕'00(n=l,2,3…)(3)按上式每进行一次计算，所得的变形Illi线近似解都将比前一次的更接近于精确解。当计算足够次数示，第n次与第n・l次两次结果接近相等时，便可认为得到了正确的变形曲线。不过，我们的冃的在于确定临界荷载，而它在按上述递推运算过程中是未知的常数。我们把上述过程做些变化，便可求解临界荷载。假设初始挠度曲线v0=v0(x)则由式⑶得到第一次近似挠度1111线为儿⑴=笫二次近似挠度曲线为冬(兀)=£[一j

5、piMdxdx]=(£)2[一jp](x)dxdx]=(£尸v2(x)El()oEl()oElP—依此类推,得Vn(X)=(—YVn(X)ElXX式中Vn(^)=-jpn-1(x)dxdx(4)00当两次结果接近时,则vn_{(x)«vw(x)—_P-由此可得：Vn-l(X)=—V,,(兀)EI则临界荷载匕⑷(%)EI(5)计算临界荷载时，先根据假定的挠度曲线由式(4)逐次求；l

6、v„-i(x)与二(兀)，然后由式(5)确定临界荷载n次近似解。当两次求得的临界荷载接近时，认为所确定的临界荷载有足

7、够的精度。实际计算时，一般只要计算少数几次便可得到比较满意的结果。下血以图la所示压杆來说明式⑸的应用。第一次近似：选取图lb所示折线为初始曲线v0(x),折线中央的坐标设为其下半段的方程为V(x)=—x(0

8、2EI这里，假定取用最大挠度截面的比值来确定临界荷载。即取乙⑴二一厂。第二次近似：以匚（兀）作为近似变形曲线代入,得xxXXrrjv2(x)=-jpi(x)dxdx=_jjl-—x3+—xdxdx0000引AA5fl£亠5flh60/24192将二（朗和d（x）代入式（5）,得临界荷载的第二次近似值n帀「—「80（-4兀2+孙）1（旧V*花叭x=在打精确解相比只差1.32%o第三次近似：以巾（朗作为近似变形曲线代入，得xxxxr5rj3yj3匕(兀)=-JA?Mdxdx=-Jj[-京_^+^Y

9、}dXClX0000U5"2厶fxfix55/Z36lfl5x=112520/480115223040据此町求得临界荷载的第三次近似值为,=竺=168/(16扌—40/32+25广)"⑶—石4_-64x6+336/2%4-700/4%2+427Z6El]tX~2_9.882£/_fi与楮确值仅差0.13%o在一般情况下，临界莉荷载的精确值是不知道的。因此，若在每一次近似计算时,能确定临界荷载的上限和下限值,便可事先判断出临界荷载精确解所在的范I节I。为此，可利用式（5））算出构件上某两点的化•