结构力学之渐近法

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1、渐近法第七章9/2/202111、线性代数方程组的解法:直接法渐近法2、结构力学的渐近法力学建立方程，数学渐近解不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。3、位移法方程的两个特点:(1)每个方程最多是五项式；(2)主系数大于副系数的总和，即kii>kij，适于渐近解法。4、不建立方程组的渐近解法有：(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。它们都属于位移法的渐近解法。kiikikkijkirkis§7-1

2、渐近法概述9/2/20212§7-2力矩分配法的基本概念力矩分配法理论基础：位移法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。表示杆端对转动的抵抗能力。在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。1SAB=4i1SAB=3iSAB=i1SAB=0SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。一、转动刚度S：9/2/20213分配系数SAB=4i1SAB=3i11SAB=i二、分配系数设A点有力矩M，求MAB、MAC和MADCABDiABiACiA

3、DM如用位移法求解：MMABMACMAD于是可得9/2/20214三、传递系数MAB=4iABAMBA=2iABAMAB=3iABAMAB=iABAMBA=-iABA在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。AlAB近端远端ABAAAB9/2/20215——基本运算ABCMABMBAMBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAMBCMB=MBA+MBCABC-MB0-MB+=最后杆端弯矩：MBA=MBAP+MBC=MBCP+MAB=MABP+然后各跨分别

4、叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号§7-3单结点的力矩分配9/2/20216例1.用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1）B点加约束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=MB=MBA+MBC=-150150-90（2）放松结点B，即加-60进行分配60ABC-60设i=EI/l计算转动刚度：SBA=4iSBC=3i分配系数：0.5710.429分配力矩:-34.3-25.7-17.20+(3)最后结果。合并前面两个过程ABC0.5710.429-1501

5、50-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M图(kN·m)ABC=9/2/20217§7-4多结点的力矩分配ABCDBCMBAMBCMCBMCDMABMBMCmBAmBCmCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了——渐近运算9/2/20218CB例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN0.40.60.6670.333m-6060-100100分配与传递-33.

6、3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5-0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6-92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M图（kN·m）9/2/20219ABCD6m6m4m4mEI=1EI=2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M图（kN·m）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q图（kN）求支座反力68.256.4B124.69/2/202110上题若

7、列位移法方程式，用逐次渐近解法：(1)将上式改写成(2)余数(3)BC第一次近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08结果B=48.84C=-82.89精确值48.88-82.06MBC=4iBCB+2iBCC-100=9/2/2021111）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）固端弯矩之和（第一轮第二、三……结点）固

8、端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：9/2/2021120.222111ABCDFEBCmBA=40kN