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1、二次函数的图象和性质知识点一、二次函数的定义：形如y二dx'+bx+cQHO,a,b,c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.例1.下列函数中，哪些是二次函数？(1)7-^=°;⑵护丸“*-2!)-a-叭■⑶尸"+7；⑷Z=V*a+2x-3例2：hi取哪些值时，函数A=是以x为自变量的二次函数？解：若函数是二次函数，则.解得且曲＜1.因此，当«*0且时，函数Z=-*»)^+-«+(*
2、4-0是二次函数.总结:形如尸二衣+加化的函数只有在＜1・0的条件下才是二次函数.知识点二、二
3、次函数的图象及画法二次函数y二ax'+bx+c(aHO)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴木身)的抛物线•几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.1.用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称地画图•画图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2.用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y二ax?的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法
4、将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h,k),然后做出二次函数尸ax?的图象.将抛物线y二ax2平移，使其顶点平移到(h,k).知识点三、二次函数y二ax'+bx+cQHO)的图象与性质1.函数y二ax'(aHO)的图象与性质：函数3的符号图彖开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2a>0yk向上(0,0)y轴x>0时，y随x增大而增大x<0时,y随x增大而减小当x=0时，y眾小二0y=ax2a<0/I向'F(0,0)y轴x>0时，y随x增大而减小x<0时,y随x增大而增大当x=0时，y眾大二0例3.已知八(Z2)』*4
5、是二次函数，且当“0时，y随x的增大而增大.⑴求k的值；(1)求顶点坐标和对称轴.解：+*-4=2■⑴由题意，得,解得22.(2)二次函数为则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.例4.已知正方形的周长为Ccm,面积为Semi(1)求S和CZ间的函数关系式，并画出图象；(1)根据图象，求出S二lcnf时，正方形的周长;⑶根据图象，求出C取何值时,S^4cm2.思路点拨：此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内.解:S=—C2468•••―丄旷16141944•••描点、连线，图象如图.⑵根据
6、图象得S=lcm2吋，正方形的周长是4cm.(3)根据图象得，当C^8cm时，S>4cm2.(1)由题意，得16列表：注意：(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成X、y.(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.1.函数y=a.x2+k(a^O)的图象及其性质：(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y二ax'相同，不同的是顶点坐标为(0,c),当x=0时,y城小二k(2)当a〈0时，开口方向、对称轴、增减性与ypx?相同，不同的是顶点坐标为(0,c),当x二0时,y龈大二k例5.—条抛物线的开
7、口方向和对称轴都与相同，顶点纵坐标是・2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.解：由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,-2),因此所求函数关系式可看作丿=*一2@>0).又因为抛物线经过点(1,1),所以，卩-2,解得"3.故所求函数关系式为^=3%2-2.3-二次函数y=ax2+bx+c(aHO)的图象与性质:二次函数y二ax'+bx+cQHO)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是加‘％,对称轴b是直线函数二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a#0）a>0a<0Jity图象o：L(1)当a>0时，抛
8、物线开口向上，并向上(1)当M0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点'2«4a是它的最无限延伸，顶点2d'4a是它的最性质低点.bT■高点.b(2)在对称轴直线―加的左侧，抛物(2)在对称轴直线■仙的左侧，抛物线线自左向右下降,在对称轴的右侧，抛自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自物线自左向右上升.左向右下降.例6.不画出图象，你能说明抛物线厂二-%3与尸一处十”之间的关系吗?解：抛物线尸-朮的顶点坐标为(°,0)；抛物线X=-Xx+2)a的顶点坐标为(一2,0).因此抛物线八一症与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线"一2.抛物线是
9、由尸-新向左平移2个单位而得的.第四类：y=a(x-h)2+k的图象和性质例7.把抛物线y=^+bx+c向上
