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1、第4页共4页高中函数知识梳理一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定义：定理1：那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间）若，那么上是增函数；上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法(3)导数法求单调区间：⑷导数法逆用：2.复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分
2、别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，①的增减性与相同，②、、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：①的增减性不能确定；②、、为增函数，为减函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数的图象的对称性（自身）:定理1:函数的图象关于直对称第4页共4页特殊的有：①函数的图
3、象关于直线对称。②函数是偶函数关于对称。定理2：函数的图象关于点对称。函数是奇函数关于点对称。定理3：（性质）①若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2
4、a-b
5、是它的一个周期。②若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4
6、a-m
7、为它的一个周期。③若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.⑵A(x,y)关于x轴的对称点为（）；⑶A(x,y)关于y轴的对称点
8、为（）；⑷A(x,y)关于原点的对称点为（）；⑸A(x,y)关于y=x的对称点为（）；⑹A(x,y)关于y=-x的对称点为（）；函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。3．奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.（1）满足定义式子（偶）（奇）（2）在原点有定义的奇函数有（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函
9、数没有反函数（8）图形的对称性关于轴对称的函数（偶函数）关于原点对称的函数（奇函数）（9）若是偶函数，则必有若是奇函数，则必有（10）若为偶函数，则必有若是奇函数，则必有（11）常见的奇偶函数第4页共4页三、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1.周期性的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是
10、函数的周期。2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果，那么是周期函数，其中一个周期四．反函数的性质和应用（1）定义域值域相反（2）图象关于对称（3）具有相同的单调性、奇偶性（4）单调函数一定具有反函数，具有反
11、函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数（5）原函数过则反函数过反之亦然即.函数的对称性求解析式已知是偶函数，当时，,求的解析式.五．多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.六．分数指数幂(1)（，且）.第4页共4页(2)（，且）.根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.八．有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.九．指数式与对数式的互化
12、式.十.对数公式：1.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).2.对数的四则运
