函数图像知识点梳理

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1、函数的图像1【考纲说明】1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数yfxa=()+的图像可以把函数yfx=()的图像沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移

2、

3、a个单位即可得到；（2）竖直平

4、移：函数yfxa=()+的图像可以把函数yfx=()的图像沿x轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移

5、

6、a个单位即可得到．左移h右移h①y=f(x)→y=f(x+h);②y=f(x)→y=f(x−h);上移h下移h③y=f(x)→y=f(x)+h;④y=f(x)→y=f(x)−h.2、对称变换：（1）函数yfx=()−的图像可以将函数yfx=()的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数y=−fx()的图像可以将函数yfx=()的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数yfx=−−()的图像可以将函数yfx=()的图像关于原点对称即可得到；−1（4）函数yfx=()的图像可以将函数yf

7、x=()的图像关于直线yx=对称得到．x轴y轴①y=f(x)→y=−f(x);②y=f(x)→y=f(−x);直线x=a直线y=x−1③y=f(x)→y=f(2a−x);④y=f(x)→y=f(x);2原点⑤y=f(x)→y=−f(−x).a＋b提示：a.若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝成轴对称图形，若f(a＋2a＋bx)＝－f(b－x)，x∈R，则y＝f(x)的图象关于点(，0)成中心对称图形．21b.函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝(b－a)对称.23、翻折变换：（1）函数yfx=

8、()

9、的图像可以将函数yf

10、x=()的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留yfx=()的x轴上方部分即可得到；（2）函数yfx=(

11、

12、)的图像可以将函数yfx=()的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留yfx=()在y轴右边部分即可得到．yyyy=f(x)y=

13、f(x)

14、y=f(

15、x

16、)aobcxaobcxaobcx4、伸缩变换：（1）函数y=afx()(a>0)的图像可以将函数yfx=()的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a>1)或压缩（01<0)的图像可以将函数yfx=()的图像中的每一点纵坐标不变横

17、坐标伸长1(a>1)或压缩（01<且gx()0<，故fxgx()()0⋅<。∴选A.x−−x3【例2】说明由函

18、数y=2的图像经过怎样的图像变换得到函数y=21+的图像．xx−3【解析】方法一：（1）将函数y=2的图像向右平移3个单位，得到函数y=2的图像；x−3−−x3（2）作出函数y=2的图像关于y轴对称的图像，得到函数y=2的图像；−−x3−−x3（3）把函数y=2的图像向上平移1个单位，得到函数y=21+的图像．x−x方法二：（1）作出函数y=2的图像关于y轴的对称图像，得到y=2的图像；−x−−x3（2）把函数y=2的图像向左平移3个单位，得到y=2的图像；−−x3−−x3（3）把函数y=2的图像向上平移1个单位，得到函数y=21+的图像．3【例3】设曲线C的方程是yxx=−，将

19、C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(t≠0)个单位长度后得到曲线C，1（1）写出曲线C的方程；14ts（2）证明曲线C与C关于点A(,)对称；1222t（3）如果曲线C与C有且仅有一个公共点，证明：st=−．143【解析】（1）曲线C的方程为yxt=−−−+()()xts；1（2）证明：在曲线C上任意取一点Bxy(,)，设Bxy(,)是B关于点A的对称点，则有1112221xxtyys++1212=,=，∴xtxysy=−=,−代入曲线C的方程，得xy,的方程：121222222