高中数学知识点易错点梳理函函数1函数图像及其变换.pdf

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1、高中数学知识点易错点梳理函数1函数图像的对称性C3.函数图像的对称性(1)一个函数图像自身的对称性性质1：对于函数yf(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有abf(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图像关于直线x对称.2【特例】，当ab时，f(ax)f(ax)f(x)的图像关于直线xa对称.性质2：对于函数yf(x)，若存在常数a,b,使得函数定义域内的任意x，都有abf(ax)f(bx)f(x)的图像关于点(,0)对称.2【特例】：当ab时，f(ax)f(ax)f(x)的

2、图像关于点(a,0)对称.事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.性质3：设函数yf(x)，如果对于定义域内任意的x，都有abf(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0)，则yf(x)的图像关于直线x对称.(这实2际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.性质4：设函数yf(x)，如果对于定义域内任意的x，都有abf(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0)，则yf(x)的图像关于点(,0)对称.(实际2上是奇函数的一般情形)广义奇函数.【小结】函数对称性的充要条件函数关系式(xR)对称性f(x)f

3、(x)函数f(x)图像是奇函数f(x)f(x)函数f(x)图像是偶函数f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax)函数f(x)图像关于直线xa对称f(x)2bf(2ax)或f(ax)2bf(ax)函数f(x)图像关于点P(a,b)对称(2)两个函数图像之间的对称性1.函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线y0对称.2.函数yf(x)与yf(x)的图像关于直线x0对称.3.函数yf(x)与yf(x)的图像关于原点(0,0)对称.ba4.函数yf(amx)与yf(bmx)的图像(a,

4、b,mR,m0)关于直线x对称.2mba特别地，函数yf(ax)与yf(bx)的图像关于直线x对称.2（2010江苏卷5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_________a=1C4.几个函数方程的周期(约定a0)aa(1)若f(x)f(xa)，或f(x)f(x)，则f(x)的周期Ta；22aa(2)若f(x)f(xa)0，或f(xa)1f(x)，或f(x)f(x)，或1f(x)22fxafxa，1或fxa(f(x)0)，则f(x

5、)的周期T2a；fxx【说明】函数yf满足对定义域内任一实数x（其中a为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.C5.对称性与周期性的关系（可与三角函数类比）定理1：若定义在R上的函数f(x)的图像关于直线xa和xb(ab)对称，则f(x)是周期函数，且2ab是它的一个周期.推论1：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab)，则f(x)是以2ab为周期的周期函数.定理2：若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,0)和直线xb(ab)对称，则f(x)是周期

6、函数，且4ab是它的一个周期.推论2：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab)，则f(x)是以4ab为周期的周期函数.定理3：若定义在R上的函数f(x)的图像关于点(a,y)和(b,y)(ab)对称，则f(x)00是周期函数，且2ab是它的一个周期.推论3：若函数f(x)满足f(ax)f(ax)2y及f(bx)f(bx)2y(ab)，00则f(x)是以2ab为周期的周期函数.C6.1、若函数yf(xa)为偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线xa对称.2、若函数y

7、f(xa)为奇函数，则函数yf(x)的图像关于点(a,0)对称.3、定义在R上的函数f(x)满足f(ax)f(ax)，且方程f(x)0恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na.C7.关于奇偶性与单调性的关系.0,①如果奇函数yf(x)在区间上是递增的,那么函数yf(x)在区间,0上也是递增的;0,②如果偶函数yf(x)在区间上是递增的,那么函数yf(x)在区间,0上是递减的;C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）.1.平移变换（1）函数yf(xa)的图象

8、是把yf(x)的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移a个单位得到的．（2）函数yf(x)+a的图象是把yf(x)助图象沿y轴向上(a0