高中数学知识点易错点梳理函数5抽象函数.doc

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1、高中数学知识点易错点梳理函数5抽象函数C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C2.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探究抽象函数：①正比例函数型：.②指数函数型：.③对数函数型：.④幂函数型：,.⑤三角函数型：,,,.,.（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令＝0或1，求出或、令或等）、递推法、反证

2、法等）进行逻辑探究．C14.大小比较常用方法：①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；②作商（常用于分数指数幂的代数式）；③分析法；④平方法；⑤分子（或分母）有理化；⑥利用函数的单调性；⑦寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法；⑧图像法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（2009江苏卷10）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为.m

3、单调性：在区间上单调递增；在区间上单调递减.④极值：时取到极大值，时取到极小值.⑤记住的图像的草图.⑥不等式性质：时，；时，.(2)时，在区间上为增函数.【思考】：图像大致如何分布.(3)常用地，当时，的特殊性质略.【探究】：①函数的图像变化趋势怎样？②的有关性质.2.化简为，①定义域：；值域为的一切实数；②奇偶性：不作讨论；③单调性：当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减.④对称中心是点；⑤两渐近线：直线和直线；【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中的系数确定.⑥平移变换：可由反比例函数图像经过平移得到；

4、3.三次函数图像与性质初步*1.定义：形如的函数叫做三次函数.定义域为,值域为.·*2.解析式：①一般式：；②零点式：*3.单调性：【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号.在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法.那三次函数的图像及性质，要从那里入手呢？再结合探究工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质.所以，，

5、导函数对称轴.【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处.（“极值判别式”，当判别式小于等于零时，无极值点）（一）若令，由根与系数关系知：，两极值点：（1）当，，，约定，则拐点在轴左边，极值点分布在轴左边.根据零点的个数，尝试做出如下图像：······（2）当，，时，拐点在轴左边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值；······（3）当，，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略（4）当，，时，拐点在轴右边，极值点分布在轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值

6、.图略（二）若由知：无极值点，拐点横坐标仍为，所以图像如右图所示.（三）若即时，在R上恒成立，即在为增函数.(-∞，)（，+∞)的符号+0+的单调性↗↗*4.极值：函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系(1)若，则在R上无极值；(2)若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.*5.零点个数(根的性质)函数的图像与轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？（联系函数的极值，进行等价转化）一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”；两个交点：极大值等于零，或者

7、极小值等于零；三个交点：极大值大于零，极小值小于零.（2009江苏卷3）函数的单调减区间为.D2.几个重要图像1.（）2.（）3.（）4.（）5.6.D3.函数的零点处理：（1）的零点（不是点而是数）的根与轴的交点的横坐标的交点问题.（2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题.（3）零点存在定理：单调且端点值异号使.【说明】：1.方程在上有且只有一个实根，与不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程有且只有一个实根在内，等价于，或且，或且.2.在上连续，且，则在上至少有一个零点（奇数个零点）

8、，可能有无数个零点.，在上可能无零点也可能有无数个零点.3.零点的表示方法不能用有序实数对.