高中数学知识点易错点梳理函数5抽象函数

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1、高中数学知识点易错点梳理函数5抽象函数C、10~12,思维拓展题,稍有难度,要在方法切入上着力C2.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是:(1)借助模型函数探究抽象函数:①正比例函数型:.②指数函数型:.③对数函数型:.④幂函数型:,.⑤三角函数型:,,,.,.(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究:(3)利用一些方法(如赋值法(令=0或1,求出或、令或等)、递推法、反

2、证法等)进行逻辑探究.C14.大小比较常用方法:①作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;②作商(常用于分数指数幂的代数式);③分析法;④平方法;⑤分子(或分母)有理化;⑥利用函数的单调性;⑦寻找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法;⑧图像法.其中比较法(作差、作商)是最基本的方法.(2009江苏卷10)已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为.m

3、;5③单调性:在区间上单调递增;在区间上单调递减.④极值:时取到极大值,时取到极小值.⑤记住的图像的草图.⑥不等式性质:时,;时,.(2)时,在区间上为增函数.【思考】:图像大致如何分布.(3)常用地,当时,的特殊性质略.【探究】:①函数的图像变化趋势怎样?②的有关性质.2.化简为,①定义域:;值域为的一切实数;②奇偶性:不作讨论;③单调性:当时,在区间上单调递增;当时,在区间上单调递减.④对称中心是点;⑤两渐近线:直线和直线;【注意】:两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中的系数确定.⑥平移变换:可由反比例函数图像经过平

4、移得到;3.三次函数图像与性质初步*1.定义:形如的函数叫做三次函数.定义域为,值域为.·*2.解析式:①一般式:;②零点式:*3.单调性:5【探究】:要尝试研究一个陌生函数的一些性质,以往在研究二次函数问题时,我们需要考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号.在研究三角函数问题时,又采用过“五点”作图法.那三次函数的图像及性质,要从那里入手呢?再结合探究工具“导数”,我们不妨从函数图像几何特征角度,如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等,确定研究的方向,把握三次函数的一些粗浅性

5、质.所以,,导函数对称轴.【注意】:拐点横坐标所在处,也有可能是驻点所在处.(“极值判别式”,当判别式小于等于零时,无极值点)(一)若令,由根与系数关系知:,两极值点:(1)当,,,约定,则拐点在轴左边,极值点分布在轴左边.根据零点的个数,尝试做出如下图像:······(2)当,,时,拐点在轴左边,极值点分布在轴两边,且左极值点绝对值大于右极值点绝对值;······(3)当,,时,拐点在轴右边,极值点分布在轴右边,且左极值点绝对值大于右极值点绝对值.图略(4)当,,时,拐点在轴右边,极值点分布在轴两边,且左极值点绝对值小于

6、右极值点绝对值.图略(二)若由知:无极值点,拐点横坐标仍为,所以图像如右图所示.5(三)若即时,在R上恒成立,即在为增函数.(-∞,)(,+∞)的符号+0+的单调性↗↗*4.极值:函数在某点取得极值的充要条件是什么?等价表述,和单调性的联系(1)若,则在R上无极值;(2)若,则在R上有两个极值;且在处取得极大值,在处取得极小值.*5.零点个数(根的性质)函数的图像与轴有几个交点?和函数的哪些性质相联系?(联系函数的极值,进行等价转化)一个交点:极大值小于0,或者是极小值大于0.也可以表述为“极大值与极小值同号”;两个交点:

7、极大值等于零,或者极小值等于零;三个交点:极大值大于零,极小值小于零.(2009江苏卷3)函数的单调减区间为.D2.几个重要图像1.()2.()3.()4.()5.6.5D3.函数的零点处理:(1)的零点(不是点而是数)的根与轴的交点的横坐标的交点问题.(2)注意讨论周期函数(特别是三角函数)在某区间内零点个数问题.(3)零点存在定理:单调且端点值异号使.【说明】:1.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.2.在上连续,且,则在上至少有

8、一个零点(奇数个零点),可能有无数个零点.,在上可能无零点也可能有无数个零点.3.零点的表示方法不能用有序实数对.5

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