函数图像知识点梳理.doc

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1、函数的图像【考纲说明】1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（

2、2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．①y=f(x)y=f(x+h);②y=f(x)y=f(x-h);③y=f(x)y=f(x)+h;④y=f(x)y=f(x)-h.2、对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．①y=f(x)y=-f(x);②y=f(x)y=f(-x);③y=f(x)y=f(2a-x

3、);④y=f(x)y=f-1(x);⑤y=f(x)y=-f(-x).提示：a.若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝成轴对称图形，若f(a＋x)＝－f(b－10x)，x∈R，则y＝f(x)的图象关于点(，0)成中心对称图形．b.函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝(b－a)对称.3、翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原

4、轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x).【经典例题】【例1】函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（）10....【解析】∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时且，故。∴选A.【例2】说明由函数的图像经过怎样的图像

5、变换得到函数的图像．【解析】方法一：（1）将函数的图像向右平移3个单位，得到函数的图像；（2）作出函数的图像关于轴对称的图像，得到函数的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．方法二：（1）作出函数的图像关于轴的对称图像，得到的图像；（2）把函数的图像向左平移3个单位，得到的图像；（3）把函数的图像向上平移1个单位，得到函数的图像．【例3】设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：．

6、【解析】（1）曲线的方程为；10（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，∴代入曲线的方程，得的方程：即可知点在曲线上．反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上．因此，曲线与关于点对称．（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，∴方程组有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，∴，即得，因为，所以．【例4】（1）试作出函数的图像；（2）对每一个实数，三个数中最大者记为，试判断是否是的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为

7、什么？【解析】（1）∵，∴为奇函数，从而可以作出时的图像，又∵时，，∴时，的最小值为2，图像最低点为，又∵在上为减函数，在上是增函数，同时即以为渐近线，10于是时，函数的图像应为下图①，图象为图②：（2）是的函数,作出的图像可知，的图像是图③中实线部分．定义域为；值域为；单调增区间为；单调减区间为；当时，函数有最小值1；函数无最大值．【例5】已知函数f(x)＝

8、x2－4x＋3

9、(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解析】

10、作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为

11、x2－4x＋3

12、＝x＋a，于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由⇒x2－3x＋a＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a)＝0.得a＝－.由图象