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1、重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练二——二次函数最值问题班级姓名等级一、基本模型与方法问题1：“牵牛从点A出发，到河边/喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？"即在I上找一点P,使得PA+PB和最小.(1)A,B两点在直线异侧时，连接AB交/于P,则PA+PB和最小.B(2)A,B两点在直线同侧时，在/上找一点P,使得PA+PB和最小.作B点关/的对标点皮，连接AB，交1于点P,即为所要找的P点，使PA+PB和最小.(3)变式讨论：在1上找一P点，使得APAB周长最小.问题2：在1上找一点P,使得
2、IPA—PBI最大(1)A,B两点在直线同侧时，连接AB井延长交1于P,贝ijIPA-pBl最大A.B(2)A,B两点在直线异侧时，作B点关于1的对称点B，,连接AB，并延长交1于点P,即为所要找的P点，使1PA—PB1最大.■BA.问题3：(1)在直线I】、b上分别求点M、N,使APNIN周长最小做法：分别作点P关于直线h、b的对称点Pi，P2连接Pi，P2与h，12交点即为M,N(2)变式：在直线1),12上分别求点M、N,使四边形PMQN周长最小.做法：分别作点P,Q关于直线h，b的对称点P'，Q'
3、，连接P'，Q'与h，12交点即为M,N问题4：点在锐角ZAOB内部，在OB边上求作一点D,在OA边上求作一点C,使PD+CD最小做法：做点P关于直线OB的对称点P，,过P，向直线OA作垂线与0B的交点为所求点D,垂足即为点C问题5：(1)直线1】〃12,并且h与b之间的距离为d,点A和点B分别在直线h、I2的两侧，在直线h、12上分别求一点M、N,使AM、MN、AB的和最小.作法：将点A向下平移d个单位到Ai，连结A
4、B交I2于点N,过N作MN丄h，垂足为M,连结AM,则线段AM,MN,NB的和最小，点
5、M,N即为所求.（2）直线I的同侧有两点A,B,在直线1上求两点C、D,使得AC,CD,DB的和最小，且CD的长为定值a,点D在点C的右侧.作法：将点A向右平移a个单位到厲，作点B关于直线的对称点名B
6、,连结街，B】交直线1于点D,过点A作AC//AQ交直线1于点G,连结BD,则线段AC、CD、DB的和最小.点C、D即为所求二、基本题型训练1.已知：如图所示，抛物线y=-%2-2x+3交x轴于/、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C.y（1）求点A、B、C的坐标.—（2）点P为直线AC上方抛物线上一
7、动点（不与A、C重合），过P作y轴的平行线交直线AC于点Q,求线段PQ的最大值.变式1：点P为直线AC±方抛物线上一动点（不与A、C重合）,AC于点M,求线段PM的最大值.变式2：点P为直线AC±方抛物线上一动点（不与A、C重合），求点P到直线AC距离的最大值.变式3：点P为直线AC±方抛物线上一动点（不与A、C重合），过P作y轴的平行线交直线AC于点Q,过P作直线AC的垂线，垂足为H.①求APQII周长的最大值；②求△PQH面积的最大值.变式4：点P为直线AC上方抛物线上一动点（不与A、C重合），求AP
8、AC面积的最大值.（3）在直线AC±求点G,使AOBG周长最小，并求出周长的最小值.（3）点M为线段AB±一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于1.如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,连接BC.（1）求A,B,C三点的坐标;（2）若点P为线段BC上一点（不与B,C重合），PM〃y轴，且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当ABCM的面积最大时，求ABPN的周长；（3）在（2）的条件下，当厶BCM的面积最大吋，在抛物线的对称轴上
9、存在一点Q,使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，边AB在x轴上，且AB二6,D(0,9),以C为顶点的抛物线经过A、B两点，直线1过点C,交y轴于点E(0,12)(1)求抛物线的解析式；⑵(“两点一线〃线段和最小模型)若抛物线的对称轴上存在点Q,使得AQAE周长最小，求Q的坐标以及AQAE周长的最小值；(1)若P是线段BD上方抛物线上的一个动点，求△PBD的最大而积.(2)在⑶的基础上:①直接写出P到直线BD的最大距离是；②过P作PM//CD交
10、BD于M,作PN//y轴交BD于N,求PM+PN的最大值.1.如图，直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax?+4x+c的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC,点N是线段BC±的动点，作ND丄x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;(3(“两点两线"四边形周长最小模型)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图彖的顶点，点M(4,m)是该二次函数图象上一点，在
