二次函数最值专题

《二次函数最值专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二次函数最值专题三亚市实验中学王迎春1．（2010湖南常德）如图9,已知抛物线与轴交于A(－4，0)和B(1，0)两点，与轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标;（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．xyOBCA图9xyOBCA图9解：（1）由二次函数与x轴交于A(-4,0)、B(1,0

2、)两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为xyOBCA图9EF∵S△CEF=2S△BEF,∴,∴△BEF～△BAC,得故E点的坐标为(,0).∵EF//AC,∴∴xyOBCA图9EFxyOBCA图9PQxyOBCA图9PQ（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则点C的坐标为（0，－2）．若设直线AC的解析式为，则有解得：故直线的解析式为若设P点的坐标为，又点Q是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则点Q的坐标为（则有：＝=即当时，线段PQ取大值，此时点P的坐标为（－2，－3）。2．（2010山

3、东聊城）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E解：（1）∵抛物线经过点C（0，－3）∴C＝－3，∴y＝ax2+bx-3，又抛物线经过点A（－1，0），对称轴为x=1，所以∴抛物线的函数关系

4、式为y＝x2－2x-3（2）∵点A（－1,0），对称轴为x=1，∴点B（3，0）．设直线BC的函数关系式为y=kx+b，根据题意得∴直线BC的函数关系式为y=x－3，当x=1时，y＝－2，∴点M的坐标为（1，－2）．（3）如图，过点P作PD⊥OC，设P（1，y），则PE＝

5、y

6、，DC＝｜－3－y｜，在Rt△PEB中，PB2＝22+

7、y

8、2＝4+y2，在Rt△PCD中PC2＝12+

9、－3－y

10、2＝10+6y+y2,在Rt△OBC中，BC2＝32+32＝18，∵∠PCB＝90º，∴PB2=PC2+BC2

11、，∴4+y2=10+6y+y2+18，解得y=-4∴P（1,-4）3.（2010四川绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．CEDGAxyOBF

12、解：（1）由题意，得解得，b=－1．所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．CEDGAxyOBF2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为DH+CH=DH+HB=BD=而∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=．设直线BD的解析式为y=k1x+b，则解得，b1=3．所以直线BD的解析式为y=x+3．由于BC=2，CE=BC∕2=，Rt△CEG∽△COB，得CE:CO=CG:C

13、B，所以CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y=x+．联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．CEDGAxyOBFHCEDGAxyOBFKN（3）设K（t，），过K作x轴的垂线交EF于N．则KN=yK－yN=－（t+）=．所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN（t+3）+KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+）2+．即当t=－时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时K（－，）．4．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知

14、抛物线经过A(-4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有解得∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4（2）过点M作MD⊥