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1、二次函数最值专题三亚市实验中学王迎春1.(2010湖南常德)如图9,已知抛物线与轴交于A(-4,0)和B(1,0)两点,与轴交于C点.(1)求此抛物线的解析式;(2)设E是线段AB上的动点,作EF//AC交BC于F,连接CE,当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时,求E点的坐标;(3)若P为抛物线上A、C两点间的一个动点,过P作轴的平行线,交AC于Q,当P点运动到什么位置时,线段PQ的值最大,并求此时P点的坐标.xyOBCA图9xyOBCA图9解:(1)由二次函数与x轴交于A(-4,0)、B(1,0
2、)两点可得:解得:故所求二次函数的解析式为xyOBCA图9EF∵S△CEF=2S△BEF,∴,∴△BEF~△BAC,得故E点的坐标为(,0).∵EF//AC,∴∴xyOBCA图9EFxyOBCA图9PQxyOBCA图9PQ(3)解法一:由抛物线与y轴的交点为C,则点C的坐标为(0,-2).若设直线AC的解析式为,则有解得:故直线的解析式为若设P点的坐标为,又点Q是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点,则点Q的坐标为(则有:==即当时,线段PQ取大值,此时点P的坐标为(-2,-3)。2.(2010山
3、东聊城)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90º的点P的坐标.E解:(1)∵抛物线经过点C(0,-3)∴C=-3,∴y=ax2+bx-3,又抛物线经过点A(-1,0),对称轴为x=1,所以∴抛物线的函数关系
4、式为y=x2-2x-3(2)∵点A(-1,0),对称轴为x=1,∴点B(3,0).设直线BC的函数关系式为y=kx+b,根据题意得∴直线BC的函数关系式为y=x-3,当x=1时,y=-2,∴点M的坐标为(1,-2).(3)如图,过点P作PD⊥OC,设P(1,y),则PE=
5、y
6、,DC=|-3-y|,在Rt△PEB中,PB2=22+
7、y
8、2=4+y2,在Rt△PCD中PC2=12+
9、-3-y
10、2=10+6y+y2,在Rt△OBC中,BC2=32+32=18,∵∠PCB=90º,∴PB2=PC2+BC2
11、,∴4+y2=10+6y+y2+18,解得y=-4∴P(1,-4)3.(2010四川绵阳)如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?并求出最大面积.CEDGAxyOBF
12、解:(1)由题意,得解得,b=-1.所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,).CEDGAxyOBF2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH+CH最小,即最小为DH+CH=DH+HB=BD=而∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=.设直线BD的解析式为y=k1x+b,则解得,b1=3.所以直线BD的解析式为y=x+3.由于BC=2,CE=BC∕2=,Rt△CEG∽△COB,得CE:CO=CG:C
13、B,所以CG=2.5,GO=1.5.G(0,1.5).同理可求得直线EF的解析式为y=x+.联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(,).CEDGAxyOBFHCEDGAxyOBFKN(3)设K(t,),过K作x轴的垂线交EF于N.则KN=yK-yN=-(t+)=.所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=KN(t+3)+KN(1-t)=2KN=-t2-3t+5=-(t+)2+.即当t=-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-,).4.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知
14、抛物线经过A(-4,0),B(0,一4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有解得∴抛物线的解析式y=x2+x﹣4(2)过点M作MD⊥
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