初等解析函数及其基本性质

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1、=—畑;§2初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1•指数函数expz=ex(cosy+zsiny),iBexpz=e:ez是周期为2k兀i(kgZ)的周期函数。2.对数函数Lnz=In忖+iArgz,定义式。厶必的主值，记为lnz，即ln^=ln

2、z

3、+/argzLnz=ln

4、z+iargz+2km计算式。3•复数乘幕卅及其计算定义3复数a#构成的乘幕：心=/皿，其中ghO。可以分析讨论知道，其取值情况有：⑴当次幕beZ为整数时，屮有唯一值；•.・十二严。=/(哦+2眩)二/阮+2/畑二/阮.严方二/讹。(2)当次幕bJwQ为有理数时，卅有q个不同的值；q—

5、(ln

6、n

7、+rargz+2^)—lnlnlj—(argz+2/:^)•/ab-e必“二訂J二訂•八fin町p(argz+2炀)..p(argz+2^)1cos+1sinqq当k=0,1,2,…,q-1时，由正、余弦的周期性，得到屮的q个不同值°⑶当次幕b为无理数或虚数时，屮有无穷多值.例3计算下列复数乘幕：(1)H；⑵*l+i)2；(3)2,+/o解(DR=en-eK=e2kl=cos2^+zsin=0,±l,±2,---).-+4Uiln2i,、I心才如兀・•龙—+zsin—:66)3龙..3兀——+

8、=eR£3f(k=0X2)（3）2*j_g（】+i）32_g（l+i）（ln2+2&加）_^ln2-2^+＜（2^+ln2）=Jni"[cos（2Qr+ln2）+isin（2M+ln2）]=e,n2_2A7r（eosin2+zsinIn2）（k=0,±l,±2,…）.二、简单初等函数1.一般幕函数与指数函数定义4严二严，，之如。性质由对数性质决定。2.三角函数•・•e'e-cos0+isin&,e~'e=cos0-isin0ie,-/6>ie78=>cos&=—,sin0二，其中0eR22i定义5正弦函数：sin"""；余弦函数：cosz==_2i-/z例4求值

9、：cos(l+/).解cos(l+z)”啊+*州)宀严£・/+*"2~2_2容易证明：sin乙cosz具有与实函数sinx,cosx相同的周期性、奇偶性、可导（解析）、加法公式、平方关系等性质（见教材）。但是,不具有有界性:y—VVV—V八口斗••€一€.e-eTx=()n寸，sinyi==i2i2sinyi,cosyiT+oo..e+ecosyi=—-—当yToo(zToo)时,宀―sinz111疋义6tanz=,cotz=,secz=,escz=———cosztanzcoszsinz相应的一些运算性质见教材.3•反三角函数定义7满足=sinvv的复变量w称为

10、z的反正弦函数，记为w=Arcsinz。依据定义，可以求得：Bresinz=+Jl-才同理，可以定义并可求得:Arccosz;Ea心厶42l-iz4•双曲与反双曲函数宀wc-L/一厂."+厂.sinhz疋义8sinhz=；coshz=；tanhz=2i2cosh乙及其反双曲函数：Arsinh=Ln2+lI;Arcosh=Artanhz=—Ln21+zi-Z注:它们均为多值函数第三章复变函数的积分§1积分的概念及性质一、概念及其存在性是函数沿一直线段［d,b］上的积分。因为1.引言一元函数定积分［f{x）dx,函数于（兀）就定义在数轴——直线上，而复函数.f（z）

11、定义在平面上。推广定积分于复函数，考虑一般性，复积分应为平面上沿一曲线段的积分。2•定义设有向曲线Cg£＞（/）,任意分C成况段，分点为：5，Z］，^2，八°Sc"△刃任取徐€如S，作和S”=工/（冬）（族-如）=工/（氏）X,k=lk=记8=max{Az,},若limS”总存在，则称其值为/⑺沿曲线C的积分，记为1495t0［/（z）dz。若C为封闭曲线，则记为（/（z）dz（复变函数主要研究和确定闭曲线的积分）o注:复积分实质上类似于高等数学中的平面（二型）曲线积分。2.可积性及其参数计算公式定理若/(z)连续，贝lj存在，且f(z)dz=Judx-vdy

12、+iJvdx+udy；⑵设C：z=z(f),/：QT0=>(加fo证明(描述性)(1)tf(z)clz=[(w+iv}{dx+idy)=[[(«dx-vdy)+i(vdx+udy^=Judx-vdy+i[vdx+udy；借高数二型线积/、/、i「/、/i(3,1)⑵"(讹盂跖乔『皿)+w)w)+'y(购。例1计算[Re(z)dz,其中C为从点1到点3+z的直线段.解直线段C方程(x-ly-0)==t:I21)©二严+1,仁0—>1=>z=2/+l+£=(2+j)/+l,从而，原式=](2f+l)(2+i)d/=(2+i)『+d：例2设C为由点z=2沿

13、z

14、=2

15、的上半圆周到点z=-2的