初等解析函数及其基本性质.doc

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1、§2初等解析函数及其基本性质一、基本初等函数1.指数函数加法定理。，即。周期性是周期为的周期函数。2.对数函数定义2满足的函数称为复变量的对数函数，记为。关于的表达式：令，则，即。从而——定义式。注：是多值函数，是多值函数。当取主值时，为单值函数，称其为的主值，记为，即或——计算式。注：当时，——实对数函数。例2证明对数运算性质：⑴；⑵。证明⑴由对数定义表达式，；同理可证⑵式。例3求及主值。解；；主值：。由的表达式，容易知道，有分析性质：在除原点及负实轴的平面内连续且解析。，而在原点及负实轴上不连续，即在除原点及负实轴的平面内连续。又在除原点及负实

2、轴的平面内，有定义且互为反函数，有求导法则，.在除原点及负实轴的平面内解析。从而，应用对数函数时，皆指其除原点及负实轴的平面内的某一分支。3.复数乘幂及其计算定义3复数构成的乘幂：，其中。可以分析讨论知道，其取值情况有：⑴当次幂为整数时,有唯一值；。⑵当次幂为有理数时,有个不同的值；当时，由正、余弦的周期性，得到的个不同值。⑶当次幂为无理数或虚数时,有无穷多值.例3计算下列复数乘幂：⑴；⑵；⑶。解⑴.⑵,；；。⑶.二、简单初等函数1.一般幂函数与指数函数定义4；。性质由对数性质决定。2.三角函数，其中定义5正弦函数：；余弦函数：。例4求值：.解.容

3、易证明：具有与实函数相同的周期性、奇偶性、可导(解析)、加法公式、平方关系等性质(见教材)。但是，不具有有界性：时，，。当时，.定义6.相应的一些运算性质见教材.3.反三角、反双曲函数定义7满足的复变量称为的反正弦函数，记为。依据定义，可以求得：.同理，可以定义并可求得：;;4.双曲与反双曲函数函数定义8双曲正弦：；双曲余弦：；双曲正切：.及其反双曲函数：;；.注:它们均为多值函数.第三章复变函数的积分§1积分的概念及性质一、概念及其存在性1.引言一元函数定积分，是函数沿一直线段上的积分。因为函数就定义在数轴——直线上，而复函数定义在平面上。推广定

4、积分于复函数，考虑一般性，复积分应为平面上沿一曲线段的积分。yznCξkzkz0zk-1Ox2.定义设有向曲线，任意分成段，分点为：任取,作和,记，若总存在，则称其值为沿曲线的积分，记为。若为封闭曲线，则记为(复变函数主要研究和确定闭曲线的积分)。注:复积分实质上类似于高等数学中的平面为(二型)曲线积分。2.可积性及其参数计算公式定理若连续，则⑴存在，且；⑵设。证明（描述性）⑴；⑵。y(3,1)13O1x例1计算,其中为从点1到点的直线段.解直线段方程：，从而，原式。-22例2设为由点沿的上半圆周到点的曲线段,求.解，即，此时，；这里，于是，原式。

5、例3计算，其中：，方向逆时针。解圆周的方程：，从而，原式，当时，原式；当时，原式，于是，二、性质1.线性：；2.可加性：若，则；3.反对称性：；4.若为曲线的长度，且，则。证明1.2.3.显然，4.的证明利用积分定义见教材。§2柯西——古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理若在单连域内解析,且连续,则对任意简单闭曲线,有：。证明解析,且连续，且它们均连续。从而，由格林公式，。推论若在一条简单闭曲线的内部及上解析，则。例1计算，其中曲线为正向圆周：。解奇点不在闭曲线内，在内，被积函数解析，从而，=0。2.柯西——古萨基本定理定理若在单连域内处处解

6、析，则对任意闭曲线,有：。