二次函数的最值题目举例(附演习、谜底)

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1、二次函数的最值问题举例（附练习、答案）二次函数y=股2+/u+c（a工0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量X取任意实数时的最值情况（当Q>0时，函数在b仃c卜X=处取得最小值——：,无最大值；当avO时，函数在兀=处取得最大值2a4a2a4qc—h~,无最小值.4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量兀在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.【例1】当—2

2、析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、授小值及函数取到授值时相应自变量兀的值.解：作出函数的图象.当x=l时，ymin=—4,当兀=—2时，儿迪=5•【例2】当15兀52时，求函数y=-x2-x-^l的最大值和最小值.解：作出函数的图象.当x=吋，二一1，当兀二2吋，儿和=-5.市上述两例可以看到，二次函数在自变量无的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵处标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给

3、白变最兀的范围的图彖形状各界.下面给出一些常见情况：ox=1【例3】当x>0时，求函数y=-x(2-x)的取值范围•解：作出函数y=-x(2-x)=x2-2x在兀内的图象.可以看出：当兀=1时，ymin=-1,无最大值.所以，当x>0时，函数的収值范围是y>-l.【例4】当r

4、-的授小值(其中r为常数).分析：由于兀所给的范围随着r的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.解:函数y十—的对称轴为归.画出其草图.(1)当对称轴在所给范围左侧.即(〉1吋：当x

5、=t时，歹丽12—V2当对称轴在所给范围之间.U

6、Jrr<0时：2-(r+l)--=-z2-3.22X=11?-r2-3,r<02-3,0122在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数冇关的问题：【例5］某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销屮发现这种商品每天的销售量加(件)与每件的销售价兀(元)满足一次函数m=162-3x,30

7、商品每天的销售利润)4每件销售价xZ间的函数关系式;(2)若商场耍想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解:(1)由已知得每件商品的销售利润为(X-30)元，那么m件的销售利润为y=m(x-30),乂m=162-3%..•・y=(兀一30)(162—3兀)=-3x2+252x-4860,30

8、售利润，最人销售利润为432元.A组1.抛物线y=x2-(m-4)x+2m一3,当加二时，图象的顶点在y轴上；当m-时,图象的顶点在兀轴上；当加二时，图象过原点.2.用一长度为/米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为3.求下列二次函数的最值:(2)y=(1-x)(x+2).(1)y=2兀~—4x+5；4.求二次函数y=2x2-3x+5在-2

9、7.已知关于兀的函数y=x2+⑵+1)兀+厂_1,当f取何值时，y的最小值为0?B组1.己知关于兀的函数y=x2+2ax+2在一5'=X2+2ax+1在一15兀52上的最大值为4,求d的值.3.求关于x的二次函数y=x2-2tx+在一

10、1<兀<1上的最大值（/为常数）.第五讲二次函数的最值问题答案A组卡31.414或2,—22.S1693.（1）有最小值3,无最大值；（2）有最人值一，无最小值・41314-当X=~时，>nnn=—>当X=~2时，儿敢•5.y>-55/s26•当兀=2时，>'min=3-三；当兀二云或1时，ymax=3.ob37-当'=一扌时'>'min=°•B组27-106/.1・⑴当