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1、中考数学压轴题解题策略之平面几何“最值问题”近年来，中考数学压轴题中与平面儿何冇关的最值问题出现较多，这类题是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考杳，它具有很强的导向作用；由于结构新颖灵活、知识覆盖面广、综合性强，难度系数人，既考查基础知识利基木技能,乂考查数学思想方法和数学能力,要求学生具冇很强的分析推理能力，特別是注匝发展学生的创造能力方面，冇较大的区分度，因此，它是中考选拔功能的集中体现.•卜•面对陕西中考压轴题屮的最值问题作以H剖析。“最值”问题大都归于两类棊木模型：—、函数模型：把问题形成二次函数，利用二次函数的增减性，确定某范围内函数的最大或最小值
2、。例1(陕西省2012年中考25题)如图，正三角形A3C的边长为3+的.(1)如图①，正方形EFPW的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上・在正三角形ABC及其内部，以4为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'FP'N'，且使正方形EFPN的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)屮作出的正方形E'FP'N的边长；(3)如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得QE、EF在边4B上,图2点P、图1解：(1)如图①，正方形E'FP'N即为所求.(2)设正方形E'FP'N'的边长为x.•••△4BC为正三用形，・・・AE^BF^—x.:.x+^x=3+
3、V3.33._9+3冇••X—7=,2V3+3即x=3>/3-3.（没有分母有理化也对，x«2.20也正确）(3)设正方形DEMN、W力形EFPH的边长分别为加、n(m>n),它们的而积和为S,则AQ•••AD+DE+EF+BF=AB,/•—m+m+n+—h=a/3+3,艮卩m+n=3,33/.n=3-tn•/.S=m2+n2=/?z2+（3-/i）~=2m2-6/7?+9-/3-3（2<39、又•••该二次函数图彖的顶点坐标为一,一，且二次项系数2>0・・・此函数既冇最小值，又冇最大值,39当m=-时，S最小二㊁；2当,,7=373-3吋，S彊大=2（3的・3）-6
4、（3>^-3）+9=99-54^3二、儿何模型,现利用轴对称性质求几何图形屮一些线段和的最人值或最小值问题。轴对称的作用是〃搬点移线：把图形屮比较分散、缺乏联系的元素集屮到新的图形屮，从而找到解决问题的突破口。我们常常运用轴对称的性质，并借助两点之间线段最短，三角形两边之和人于第三边，垂线段最短解决几何图形的最值问题.例2(陕西省2015年中考25题)如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD//BC,CD±BC,ZABC=60°,AD=8,BC=12.(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则ABMC的面积为；(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你
5、求出ABNC周长的最小值；(3)如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P,使得cosZBPC的值最小？若存在，求出此时cosZBPC的值;若不存在，请说明理由.图①图②A解：(1)24的；(2)如图①，作点C关于宜线AD的对称点C,连接CN、CD、CB,CB交AD于点N',连接CN',则BN+NC=BN+NC>BC=BN'+CNl・・・ABNC周长的最小值为厶BN'C的周长二BNJCN'+BC=BC'+BC.・・・AD〃BC,CD丄BC,ZABC=60°,・•・过点A作AE丄BC于点E,则CE二AD二8.「•BE二4,AE=BEgtan60°=4^3.・・・CC=2C
6、D=2AE=8a/3.乂VBC=12,・•・BC=VbC2+CC2=4V21.・・・ABNC周长的最小值为4殛+12.(3)如图②,存在点P,使得cosZBPC的值最小•作BC的中垂线PQ交BC于点Q,交AD于点P,连P接BP、CP,作ABPC的外接圆。0・与直线PQ交于点N,则PB=PC,圆心0在PN上.A・・・AD〃BC,・・・OO与AD正好相切于点P,・・・PQ=DC=4^3>6,・・・PQ〉BQ,在AD上任取一点Pf,连接P'B,P'C.P'B交00于点M,连接MC.・・・ZBPC<90°,圆心0在弦BC的上方.B・・・ZBPC=乙BMC>ZBPfC.・・・ZBPC最人
7、，cosZBPC的值最小.连接0B,则ZBON=2ZBPN=ABPC.・・・OB=OP=4品—OQ・在RtABOQ屮，OQ1=（4希-OQ）2.5書•ZB二哼*ZSCfBOQ舞冷・・・此时cosZBPC的值是丄.7几何最值问题集多个知识点于一体，能全方位地考查学生的基础知识、基本技能、解题技巧以及数学思维和数洋索养，有较强的探索性,它突出了应用能力和创新能力的考査，深入地体现了新课程标准的理念,给屮考试题添增了新的活力。它贯穿初屮数了的始终，是屮考的热点问题，所以陕西屮考多年來以此问题为压轴
