一、函数与映射的基本概念

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1、一、函数与映射的基本概念2010年7月24日星期六10时16分55秒一、基本概念1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系使对于集合A中的每一个元索兀，在集合B屮都有唯一的元索*和它对应，那么就称这样的对应”为从集合A到B的一个函数,记作y=f(x),xGA,其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合C={yy=f(x),x^A]叫做函数的值域(CoB).函数符号yhW表示“y是兀的函数”，或简记为/这里的即对应法则，它确定了y与x的对应关系.从函数概念看，“定义域、值域和对

2、应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随Z确定.2、对应法则是指y与x的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程(形式)，即由x求出y的运算过程,一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果(本质)，即y的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。例如：y=x+1与y=sin，x+cos?兀+兀的对应法则是相同的。3、同一个函数两个函数当H仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数

3、为同一函数的必要非充分条件.4、变换字母在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数本身并无影响，比如/&)=?+1,g(r)=/2+1,都表示同一函数.5、区间及其表示方法.区间是数学屮常用的表示数集的术语与符号.设bwR,a

4、或一8作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式.如：(67,+oo)={xx>a},(-00,/?)={xIx

5、B满足①人中不同元索在B中有不同的象；②B中任一元素均有原象，那么这个映射就是A到B上的一一映射.7、映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当人、3是两个非空数集，那么A到B的映射A-B就叫做A到3的函数，并记作y=f(x)f其中xGA,y^B.原彖的集合A叫做函数的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CyB・<2,所以，2。注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段的表达式.8、函数的三种表示法及其优缺点(1)、解析法用一个含冇这两个变量及数学运算符号的等

6、式表示两个变量间的函数关系，，这种表示法叫做解析法.例如，代数式，y=F+兀一2,),二丄，『二J7二5等等都是函数解析式.一般的可表示为=/(x)o解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中口变量与函数的相依关系，即给出了由x求y的方法，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而口在实际问题中，有的函数关系不一立能用解析式表达出来.(2)、列表法把口变量兀的一系列值和函数y的对应值列成一个表來表示函数关系，这种表示法叫做列农法.如平方衣、平方根衣等.列农法一目了然，农格中已有口变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，

7、但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格屮也不容易看出口变量与函数Z间的对应规律•而且是近似值(3)、图象法用平而直角处标系中的曲线表示函数关系的方法叫做图彖法.图象法形彖直观，通过函数的图象，可以直接、形彖地把函数关系衣示出來，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最人值(或最小值)？最人(小)值是多少？函数值是随白变量增人而增人，还是随口变量的增大1佃减小等等，函数图象是研究两数性质的有力工具.但是，山图象观察只能市兀的值量!lly的近似值使函数有意义的口变量的取值的全体，叫做函数的口变量的取值范围.注意：(1)当函数是rh—

8、个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值.(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的口变量的值