映射与函数

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1、映射与函数一、学习目标   1、了解映射的概念，能判断某些简单的对应是不是映射，在映射基础上加深理解函数。   2、理解函数的概念，正确运用函数记号。   3、掌握函数的要素，能判断两个函数是否为同一个函数。   4、初步掌握函数的三种表示法。   5、掌握分段函数   6.加深理解函数的概念，理解对应法则的含义，初步掌握函数解析式的两种求法：    （1）待定系数法；（2）换元法   7.会求一些简单函数的定义域和值域。二、问与答问1：写出映f∶A→B的定义【解】映射f∶A→B的定义是：设A，B是两个集合，如果按照

2、某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元     素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）     叫做集合A到集合B的映射，记作f∶A→B。【评注】这个定义，不要死记硬背，要从以下四点深刻理解它：   1、先记住映射的记号“f∶A→B”，它包括集合A，B以及A到B的对应法则      f(A≠Φ，B≠Φ)。   2、映射f∶A→B是有方向的，即从A到B，定义中只要求A中的每一个元素在B中有怎样的“象”？并不      要求B中的每一个元素在A中有怎样的对应。因此，

3、“从A到B的映射”与“从B到A的映射”是不      同的。   3、在A到B的映射中，集合A中的每一个元素在B中都有“象”，且“象”唯一。   4、映射是一种特殊的“对应”。而“对应”与集合一样，也是原始概念，即无定义的，但可以“说      明”：对应是两个集合A与B的关系，通常以一个集合为主来考虑，对于A中的每一个元素来说，有      以下三种对应关系：   （1）B中有唯一元素与之对应。   （2）B中有多个元素（不是唯一）与之对应。   （3）B中没有元素与之对应。        映射就是第（1）种对应，

4、而（2）、（3）两种对应不是映射。问2：在映射f∶A→B中，什么叫“象”和“原象”？怎样判别一个对应是否是映射？试举一个正例和反例。【解】在映射f∶A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的象，元素a叫     做元素b的原象，记作：f(a)=b。     判别一个对应是映射f∶A→B的要点是：   ①A到B；   ②A中每一个元素都有象，且象唯一例如，判别下面的对应是不是映射f∶A→B？   （1）A={三角形}，B={圆}，对应法则f∶作三角形的外接圆。   （2）A=B=R，对

5、应法则f∶x→y=     解：（1）是映射。（2）不是映射，因为0∈A，但0的象不存在。问3：什么叫A到B上的一一映射？试举一个正例和反例。【解】如果映射f∶A→B再满足：     那么这个映射叫做A到B上的一一映射。     例如，下面的映射f∶A→B是不是一一映射？（1）A={三角形}，B={圆}，对应法则f∶作三角形的外接圆。（2）A={x

6、x≥0}，B={y

7、y≥0}，对应法则f∶x→y=x2.解：   （1）不是一一映射，因为不同的三角形可以有同一个外接圆（一个圆的内接三角形有无数个），        即

8、A中不同元素在B中有同一个象。   （2）是一一映射，因为它满足一一映射的条件：        ①设x1,x2∈A，且x1≠x2，则由x1≥0，x2≥0，x1≠x2Þy1==y2；        ②设任一个y1∈B，则由x1≥0Þy1=x2Þx=。问4：什么叫函数（用映射回答）？函数的定义域、值域？指出函数的要素。【解】   如果A，B都是非空数集，那么A到B的映射f∶A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)（x∈A，y∈B）。   原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域；象的集合C（CÍB）叫做函数y=f(x)

9、   的值域。函数的定义域、对应法则和值域，通常称为函数的三要素。【评注】   1、函数是特殊的映射，特别仅在A、B是非空数集。函数、一一映射、映射、对应之间的关系，      如图1所示。   2、函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有的简记作函数f(x)。而f(a)表示自变量x=a(a∈A)时      的函数值（象）。   3、值域C是B的子集，当B中的每一元素都有原象时，B=C。   4、应该知道，函数的决定性要素是两个：定义域和对应法则，而值域是由定义域和对应法则确定的，      因而今后有“求函数

10、的值域”的很多难题。因此，研究函数的任何问题都必须由定义域和对应法      则这两个独立要素下手。但很多人往往“忽视定义域”的错误。问5：怎样判别两个函数是否为同一函数？【解】要根据函数三要素来判别。   判别法一（充要）：“定义域相同”且“对应法则等价”。   判别法二（充要）：两个函数的图象完全重合，则两函数是同一函数。   判别法三（必