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《八年级数学下册14角平分线的性质角平分线典型案例精析素材（新版）湘教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、角平分线典型案例精析求证：(1)当Zl=Z2时，0B二0C；题1已知：如图CD丄AB于D,BE丄AC于E,且CD、BE相交于0点.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形(2)当0B二0C时，Z1=Z2.【精析】要证0B二0C,只须证RtACEO与RtZXBDO全等，由对顶角相等与Zl=Z2的条件，即可得证，反之成立.此例是证明互逆命题.【证明】(1)VZ1=Z2,0E丄AC,0D丄AB・・・0E二0D(角平分线上的点到角两边距离相等)・・・0B二0C.在△()£(：与ZODB中1ZC8O■MDOOK-ODZ3-Z4AAOEC^AODB(ASA).(2)T
2、OE丄AC,0D丄AB,AAOEC^AODB(AAS).AOEC=ODB,AOE=OD.在这个m平彌上)AZI-Z2在ZXOEC与AODB中OB•OBZ3-Z4^OBC-^ODB【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.题2已知：如图Z1=Z2,BC丄AC于C,BD丄AD于D,连结CD交AB于E求证：AB垂直平分CD.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形【精析】耍证的结论“垂直平分”，实际是（1）AB丄CD,（2）CE=ED,把角相等和垂直两个条件写出后，再使用角平分线性质定理，得BC二BD,利用ACBE与ADBE全等得证.【证明】・
3、・•Z1二Z2,BC丄AC,BD丄AD・・・BOBD（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）JZ1+Z3二Z2+Z4二90°,・・・Z3二Z4(等角的余角相等).在ZCBE与ADBE中faj-aoJz3-Z4bb~bsAACBE^ADBE(SAS).・・・CE二DE,CEB二DEB,VC,E,D三点在同一直线上,・・・AB丄CD于E,AB垂直平分CD.【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.证：MF=ME.直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形题3已知：如图AD为AABC的角平分线,DE丄AC于E,DF丄AB于F,
4、EF交AD于M,求【精析】要证胛二ME,只要证所在的三角形全等，由AD是角平分线条件，可得DE二DF,Z3=Z4,则这两个结论恰巧为全等创造了极好的条件.【证明】TAD为AABC的角平分线,在RtAAFD与RtAAED中DE丄AC,DF丄八B,Z1+Z3二Z2+Z4二90°.・・・DE二DF,AZ3=Z4.Z1=Z2.在与ZEDM屮JZ3-Z4MD^UD:.AFDM^AEDM.・・・MF=ME【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任収一点向两边作垂线，构造全等三角形.题4己知：如图，在中，AD平分ZBAC,BE〃DA交CA延长线于E,F是BE的
5、中点.求证：AF丄BE直击考查要点：角的平分线的性质与平行线的性质【精析】要证AF丄BE,由于已知F是BE中点，于是只要证AE=AB,由己知AD平分ZBAC,BE〃DA交CA延长线于E,即可得到AE=AB.【证明】因为AD平分ZBAC所以Z1=Z2,因为BE〃DA,所以Z3=Z1,ZE=Z2,所以Z3=ZE,所以AE=AB.因为F是BE中点，所以AF是AABE的中线，所以AF丄BE.题5已知：如图，在ZABC中，ZABC=3ZC,Z1=Z2,BE丄AE.求证：AC-AB=2BE.直击考查要点：角的平分线的性质与等腰三角形【精析】因已知“Z1=Z2,BE丄AE
6、”即已知屮有“角平分线配垂直”的条件，于是想到图形中隐含着一个等腰三角形.为此延长垂线段BE交AC于M.立即得到AB=AM,BE=EM,BM=2BE等结论，要证AC-AB=2BE的问题转化为只要证BM=MC.【证明】延长BE交AC于M,因为BE丄AE,所以ZAEB=ZAEM=90°,在ZXABE屮，因为Zl+Z3+ZAEB=180°,所以Z3=90°-Z1,同理，Z4=90°-Z2,因为Z1=Z2,所以Z3=Z4,所以AB=AM.因为BE丄AE,所以BM=2BE,所以AC-AB=AC-AM=CM因为Z4是△BCM的外角，所以Z4=Z5+ZC,因为ZABC=3Z
7、C,所以ZABC=Z3+Z5=Z4+Z5,所以3ZC=Z4+Z5=2Z5+ZC,所以Z5=ZC,所以CM=BM.所以AC-AB=BM=2BE.【点评】分类讨论思想及方程思想在等腰三角形中应用非常广泛.题6已知：如图△ABC中ZA二2ZB、CD平分ZACB.求证：BC二AC+AD直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形【精析】等量关系通常在三角形中寻找，因此经常需要构造三角形.对于线段和或差的问题通常通过截长或补短转化为线段间的等量关系.A【证明】方法1：（截长法）在BC上截取CE二CA连结DE.・・・CD平分ZACB,AZ1=Z2,在和AECD中,(JC-T
8、C(已作)CD=CD(公共边)ABCD
