【精品课堂】2017年八年级数学下册1.4角平分线的性质角平分线典型案例精析素材（新版）湘教版

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1、角平分线典型案例精析　　题1　已知：如图CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD、BE相交于O点.　　求证：（1）当∠∠1=∠∠2时，OB=OC；　　（2）当OB=OC时，∠∠1=∠∠2.　　直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形　　【精析】要证OB=OC，只须证Rt△CEO与Rt△BDO全等，由对顶角相等与∠1=∠∠2的条件，即可得证，反之成立.此例是证明互逆命题.　　【证明】（1）∵∠∠1=∠∠2，OE⊥AC，OD⊥AB　　∴OE=OD（角平分线上的点到角两边距离相等）∴OB=OC.　　在△OEC与△ODB中　　　　∴△OEC≌△ODB（ASA）.　　（2）∵OE⊥AC，

2、OD⊥AB，∴△OEC≌△ODB（AAS）.　　∴∠OEC=∠ODB，∴OE=OD.　　　　在△OEC与△ODB中　　.　　【点评】利用角平分性质定理或判定定理时，一定要注意垂直的条件.　　题2　已知：如图∠∠1=∠∠2，BC⊥AC于C，BD⊥AD于D，连结CD交AB于E求证：AB垂直平分CD.　　直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形　　【精析】要证的结论“垂直平分”，实际是（1）AB⊥CD，（2）CE=ED，把角相等和垂直两个条件写出后，再使用角平分线性质定理，得BC=BD，利用△CBE与△DBE全等得证.　　【证明】∵∠∠1=∠∠2，BC⊥AC，BD⊥AD　　∴BC=

3、BD（角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等）　　∵∠∠1+∠∠3=∠∠2+∠∠4=90°，　　∴∠∠3=∠∠4（等角的余角相等）.　　在△CBE与△DBE中　　　　∴△CBE≌△DBE（SAS）.　　∴CE=DE，∠CEB=∠DEB，　　∵C，E，D三点在同一直线上，　　∴AB⊥CD于E，　　∴AB垂直平分CD.　　【点评】用了角平分线性质定理，可代替用全等三角形得到的结论，简化证明过程.　　题3　已知：如图AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，EF交AD于M,求证：MF=ME.　　直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形　　【精析】要证MF=ME，只

4、要证所在的三角形全等，由AD是角平分线条件，可得DE=DF，∠∠3=∠∠4，则这两个结论恰巧为全等创造了极好的条件.　　【证明】∵AD为△ABC的角平分线，在Rt△AFD与Rt△AED中　　DE⊥AC，DF⊥AB，∠∠1+∠∠3=∠∠2+∠∠4=90°.　　∴DE=DF，∴∠∠3=∠∠4.　　∠∠1=∠∠2.在△FDM与△EDM中　　　　∴△FDM≌△EDM.　　∴MF=ME　　【点评】在已知条件中，有角平分线，可以在角平分线上任取一点向两边作垂线，构造全等三角形.　　题4　已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥DA交CA延长线于E，F是BE的中点.求证：AF⊥BE

5、　　直击考查要点：角的平分线的性质与平行线的性质　　【精析】要证AF⊥BE，由于已知F是BE中点，于是只要证AE＝AB，由已知AD平分∠BAC，BE∥DA交CA延长线于E，即可得到AE＝AB.　　【证明】因为AD平分∠BAC　　所以∠1＝∠2，　　因为BE∥DA，　　所以∠3＝∠1，∠E＝∠2，　　所以∠3＝∠E，　　所以AE＝AB.　　因为F是BE中点，　　所以AF是△ABE的中线，　　所以AF⊥BE.　　题5　已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE.求证：AC－AB＝2BE.　　直击考查要点：角的平分线的性质与等腰三角形　　【精析】因已知“∠1＝

6、∠2，BE⊥AE”即已知中有“角平分线配垂直”的条件，于是想到图形中隐含着一个等腰三角形.为此延长垂线段BE交AC于M.立即得到AB＝AM，BE＝EM，BM＝2BE等结论，要证AC－AB＝2BE的问题转化为只要证BM＝MC.　　【证明】延长BE交AC于M，　　因为BE⊥AE，所以∠AEB＝∠AEM＝90°，　　在△ABE中，因为∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，　　所以∠3＝90°－∠1，　　同理，∠4＝90°－∠2，　　因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4，　　所以AB＝AM.　　因为BE⊥AE，所以BM＝2BE，　　所以AC－AB＝AC－AM＝CM　　因为∠4是△BCM的外角，　　

7、所以∠4＝∠5＋∠C，　　因为∠ABC＝3∠C，　　所以∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，　　所以3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C，　　所以∠5＝∠C，　　所以CM＝BM.　　所以AC－AB＝BM＝2BE.　　【点评】分类讨论思想及方程思想在等腰三角形中应用非常广泛.　　题6　已知：如图△ABC中∠A=2∠B、CD平分∠ACB.　　求证：BC=AC+AD　　直击考查要点：角的平分线的性质与全等三角形　　【精析】等量关系通常在三角形中寻找，因此经常需要构造三角形.对于线段和或差的问题通常通过截