八年级数学下册14角平分线的性质勾股定理中的数学思想素材（新版）湘教版

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1、勾股定理中的数学思想勾股定理是平面儿何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.同学们在学习时，不仅要灵活运用该定理及逆定理，而且还要注意在解题屮蕴涵着丰富的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析，供同学们参考.一、数形结合思想例1・在直线L上依次摆放着七个正方形（如图1所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S「S2.S3、S4,则S,+S2+S3+S4=分析：经过观察图形，可以看图1l岀正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为：S

2、+S2二XS2

3、+S3二2；S3+S4N;这样数形结合可把问题解决.解：S］代表的面积为S］的正方形边长的平方，S2代表的面积为S2的正方形边长的平方,所以S,+S2=斜放置的正方形面积为1;同理S3+S4=斜放置的正方形面枳为3,故S,+S2+S3+S4=1+3=4.二、转化思想例2.如图2,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C,需要爬行的最短路径是多少？分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行，如果将长方体的侧血展开（如图2-1）,根据“两点之间线段最短.”所以求得的路径就是侧

4、面展开图屮线段ACZ长,但展开方式有3种，这样通过侧面展开图把立体图形转化为平面图形，构造成直角三角形，利用勾股定理便对求解.解：如图所示，把长方体展开后得到如图2-1、图2-2、图2-3三种情形,蚂蚁爬行的路径为展开图中的AC长,根据勾股定理可知:在图2-1中,AC2=AB2+2=302+52=925图2-2中，AC2=AD2+CD2=202+152=625图2-3中，AC2=AD2+C£）2=252+1O2=725于是,根据上面三种展开情形中的AC长比较，最短的路径是在图2-2中，故蚂蚁从A点爬行到点C,最短距离为25cm.三、方程思想例3.

5、如图3,铁路上A、B两点相距25km,C、D两点为村庄，DA丄AB于A,CB丄AB于B,已知DA二15km,CB二10km。现在要在铁路AB上建一个农贸市场E,使得C、D两村到农贸市场E的距离相等，则农贸市场E应建在距A站多少km处？-EB分析：这是一个实际生活中的问题，从图中可以看出，如果单独解直角三角形，这时条件不够，根据题意，不妨把两个直角三角形同吋考虑进去，设未知数，如果设AE=x,结合勾股定理，抓住等量关系“DE二CE”列出方程就可以解决问题了。解：设AE二xkm,由勾股定理得，15?+兀2二1（）2+（25一兀2）解此方程得x=10故

6、农贸市场E应建在铁路上离A站10km处。四、分类讨论思想例4.已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边长.分析：已知直角三角形的两边的长度，并没有指明哪一•条边是斜边，因此要分类讨论.解：（1）当5和12均是直角边吋，则由勾股定理可得斜边的长度为V52+122=13;⑵当5是直角边,12是斜边时,则由勾股定理可得另一直角边长为V122-52=7T19・综合（1）、（2）得第三边的长为13或试一试(供同学们练习)1.(荆州市)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒,规格为5X6X10(单位:CM),在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13CM

7、,小孔到图中边AB距离为1CM,到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hem,则h的最小值大约为CM.(精确到个位)(参考数据：V2-1.4,73«1.7,75-2.2)1052.如图所示的圆柱体屮底面圆的半径是4/口，高为3,若一只小虫从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路程是答案：53.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…(1)记正方形ABCD的边长为=1,依上述方法所作的正

8、方形的边长依次为。“如‘①…，。“，(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长a”的表达式答案提不：(1)ax-(V2)°,a2=(近)'宀=(V2)2,J-(V2)3；⑵j=(Q)心(佢1的自然数)