专题23几何光学问题集成

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1、Vol.35No.7Jul.2006中修输理裁学参考专题22几何光学问题集成沈晨（浙江省宁波效实中学315010）,UHL几何光学是在把光的传播抽象成光线模型并认定光的下述两条基本性质的基础上建立起来的一门学问•光的第一条基本性质：光总是沿着光程为极值的路径传播一在均匀介质里沿直线传播，因为给定两点间直线路径址短；在不均匀的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳定的光程的路径传播，即遵从费马原理•光的另一条基本性质，独立传播原理一不同方向的光线相交时互不找乱，不会改变每束光的顏色、强弱与传播方向.在均匀介质中光程I表示光的几何路程$与物质的折射率"的乘积tl=ns.在不

2、均匀介质中，取元光程△/=%•As,总N光程为1=lim£几厶.本专题我们将通过几个特例说明费马Ns：原理的正确性，并以费马原理为基础，给出各种反射与折射光具的物像公式.-在两种均匀介质的平面界面上*光倉生反射时，遵守反射定律的光程为最小，这是很容易证明的9在如图24-1所示旋转橢球形的凹面上的反射，冕光程为稳定值的情形，若光从椭球的一个焦点Fi射出，则在镜面上任一点P反射后都要落在第二个焦点F?上，根据椭球的几何性质，若半长轴为s可知光程F）PF2总等于2”s若有如图24-2所示与橢球面相切于P的镜面皿‘（其余部分都在椭球面内），光线FiPFi也是被镜面反射的光线，且遵守反射

3、定律,其光程F.PF^总比另外的不遵守反射定律的光程、例如图中EPF?大,即当光线在镜面血/上反射时,遵守反射定律的光程为最大，又若有如图24-3所示与槿球面相切壬P的幢面昭（其余部分都在捕球面外），光线F,PFt亦是被镜面反射且遵守反射定律的光线，其光程FPF2总比另外的不遵守反射定律的光程、例如图中F^F2小，即当光线在镜面”上反射时，遵守反射定律的光程为量小.当光线在两种均匀介质的界面上发生折射时，光程也遵守费马原理，如图24-4,8’为折射率各是小、也的两种介质的界面，入射光线AO在O点折射后的折射光线为OB,对给定的两点A、B，光程AOB为/=也•AO+也・OB；由

4、图得AO=a/Ai^+x2>BO=□+，=£则l=nvA/4-x24-n2Jh$+"•（D根据费马原理，这方程应取极值，即①式的一阶导数应该等于零：•■••••▼••r•v•9wr••••9■F=皿工md—工）=0_+d—工）2，则n•—=n2■~>也/+”Jh?+护即n.sini=n2sin厂，这就是折射定律，可见，满足极值条件的光程也满足折射定律.例1某行星上大气的折射率随着行星表面的高度人按照n=n.-ah的規律而减小■行星的半径为R.行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行星传播•试求离度屁.分析与解在专题13“小试身手”中，读者根据光波

5、的惠更斯原理，已求解过这个圆形光波道高度何题，这里，我们依据费马原理换角度求解.如图24-5,设光线在X行星表面高屁处沿圆周绕行星一舄，用其光程为/=«・2k,式中并=7!<）―必。』=尺+人0・由费马顶理可知，光是沿着光程为极值的路径传播的，所设光线路径实际存在的特定条件是其光程为极值•故只须求出使/取极值时的小即可、1=2心_ahj・（尺+屁）=牛（詈一屁）・（R+屁）.■±^¥^-Ao>Oj?+ho>O,且匹一屁亠尺+礼=空+尺aaa为定值，故当今一ho=R+h°时，光程有最大值.由此可见，在a仏=£（些一R）处，存在光的圆折射路径.La根据费马原理，可以确定光线在各种具

6、体情况下的传播方向，从而可以用来研究光在平面和球面系统中的反射或折射成像问题•发光点形成发散光束，具有一个頂点的光束被称为单心光束，顶点被我们称为物点，单心光束通过光具反射歳折射后若仍为单心光束，则将这被作用后的光束的頂点称为像点,其中，被光具作用后的单心光束实际会聚的頂点,称为实像点，E-

7、成像情况•平面镜成像特点是不改变光束的敛散性，即若入射光束为单心发散光束（实物），反射光束必为单心发散光束（虚像八反之，若入射光束为单心会聚光束（虚物），反射光束必为单心会聚光束（实像）,故平面镜是一个最简单的能成完善像的光学系统•球面反射会■■■■■■■■■••■■■.•■■-破坏光束的单心性，我们通常考虑近釉光线条件下的球面反射•如图24-6所示，反射镜面AOB是球面的一部分,C为球面曲率中心，F为焦点，O为球面顶点，C、O所在直线为主釉，物点S距主轴y,物距OP=“,单心光束经O、O间