资源描述：
《一道面积加倍题的作图方法探究1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道面积加倍题的作图方法探究江苏省姜垠市第四中学（225500）陈宏圣一、问题的提出某村有一个如图（1）所示的四边形的池塘，四个角上栽有四棵桃树。现耍将池塘面积扩大一倍，并且要求扩大后的池塘为平行四边形，四棵桃树在扩大后的平行四边形的边上。请你设计扩挖方案。二、问题的解决分析：我们由平行四边形的定义知道过如图（1）所示的四个点A、B、C、D作一个平行四边形，只要过A、C和B、D分别作两组平行线即可得到。但是不是任意画两组平行线得到的平行四边形的面积都恰好是原来四边形的面积两倍呢？如图（2）所示，四边形EFGH为经过A、B、
2、C、D四点的平行四边形，我们怎么知道它的面积是否是四边形ABCD的面积的2倍呢？□（2）现在我们过A、B、C、D分别作四条直线AA
3、、BB］、CC
4、>DD
5、使AAi〃EH,CC（〃EH,BB
6、〃EF、DDi〃EF（如图（3））。由平行线的传递性及平行四边形的性质和判定，得到以下五个平行四边形：口AFBQ,口BGCP,口DNCH,£7AMDE,口MNPQ0(3)因为平行b边形的对角线将平行国边形分为面积相等的两部分，AB,BC,CD,DA分别为口AFBQ,ZJBGCP,口DNCH,OAMDE的对角线，所以S.：afb=Sz；
7、abq=—Sgafbq__1Sz3BGC=Sz1BCP=—■S/PGCP2SziDHC=SziDCN=—ScDNCH2__1S/iAED=SziAMD=—SdaMDE2以上四式左右两边分别相加，则左边四个三角形面积的和就是扩大部分的面积，所以S扩大薛分=S/afb+S/bgc+S/jaed+Szdhc=sJABq+SZ1BCP+SZJAMD+S/DCN=S四边形abcd+S^mnpq①（注意：屮间平行四边形MNPQ是口AFBQ和口DNCH的重亮部分）可以看出：这时扩大部分的面积多于原来四边形ABCD的面积。那会不会少于原来
8、的面积呢？同理，请看图（4）。在口AFBM、OBGCN、口DHCP、口AQDE中有S/AFB=S/IAMB=~SZJAFBM2__1SzBGC=SvBNC=匚S口仇;CN2SJDHC=SJDPC=—■SlTDHCP2__1SzaED=S/AQD=~SoaQDE所以SrAfHI5j-=SZJAFB+SZBGC+SZJAEo+SzDHC/AMB+SzjbNc+S』AQd+S/DPC=s=S四边形abcd・S©mnpq这时扩大部分的面积少于原来四边形ABCD的面积。由①、②两式可知：如果过A、B、C、D四点任意画两组平行线得到的
9、平行四边形EFGH,那么扩大部分的面积可能不是比四边形ABCD的面积多就是比四边形ABCD的面积少。那么，我们如何才能使扩大部分的面积恰好等于原来图形的面积呢？观察①式和②式，我们可以发现：扩大部分的面积不论是多还是少都恰好是中间的平行四边形MNPQ的面积。因此如果Slmnpq=0,那么扩大部分的面积就等于原来图形的面积。我们又知道平行b边形的面积等于一条边长与这条边/的高的乘积，“边长”与“高”这两个因数中只要有一个等于零，就可使得Swnpq二0成立。比如在图（4）中，我们使得MN=0,就可以得到S^fMPQ=0o要使M
10、N=0,我们只要直线AA
11、与直线CC,重合就可以了。因此在画图时我们只要连接AC,过D,B两点分别画AC的平行线就可以使MN=O,这样就可以使扩大后的图形的面积等于原来图形的面积（如图（5）所示）。同样如果连接BD,过A,C作BD的平行线，这样就可以使图（4）中的MQ二0,也可以使S“mnpq=0。因此我们对池塘扩挖方案是：过D,B两点作AC的平行线h，©再过A,C两点作两条平行线13,b，它们分别交于E,F,G,H四点，则口EFGH即为所求作平行四边形。特例：（1）分别连接两条对角线AC和BD,然后分别过A,B,C,D四
12、点作对角线的平行线交于四点E,F,G,H得到一个平行四边形EFGH,则这个口EFGH即为所求作四边形（如图（6））。（2）在过B、D画两条与对角线AC平行的直线h、12后，只要过A、C再画两条与h垂直的直线13,S那么由li>b、13、b所围成的四边形EFGH即为将四边形ABCD面积扩大一倍的矩形。三、思考如果有一个特殊点O（如图7）所示，我们在画图时能否考虑使这个O点也在扩大后的平行四边形的边上？请你试试看。后记:这道题在很多课外书上都能找到，但这些辅导书上一般只是给出这样的答案：连接两条对角线，过四个顶点分别作两条对角
13、线的平行线，那么得到的平行四边形就是所要求的图形。同学们拿来问这个答案是怎么想到的？为什么要这样画？是否必须这样画？有没有其它的画法？由此我写出这篇文章，希望能给同学们的学习有所帮助和启发。
