从基本几何作图理论再谈一道高考作图题

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1、28上海中学数学·2012年第12期从基本几何作图理论再谈一道高考作图题201900上海市宝山中学李党望2010上海高考压轴题第三小题考察了一道交椭圆两点即为P、P。．几何作图题，虽没有要求做出图像，但要求写出根据第(2)小题的结论，是·k一一，求作步骤．原题如下：“2所以M是PP的中点，即满足P+P一已知椭圆r的方程为+一1(＆>6>o)，葡．点P的坐标为(一a，6)．作为压轴题这样一道尺规作图题确实难住(1)若直角坐标平面上的点M，A(0，一6)，了不少学生，尤其是参考解答中“作斜率为B(n，o)满足_P一1(+葡)，求点M的坐的直线，交椭圆两点即为P。、P”，让“11tO【7，标；不少学

2、生和教师有这样困惑：这样的直线能做(2)设直线z：—k．，+户交椭圆厂于C、D出来吗?他们很关心如何通过直尺和圆规做出两点，交直线Z：：—k于点E．若k·k一一P、P两点．文[1]给出了四种作图方法，作者L2称为基本方法，实际上除了第一种方法之外，其，证明：E为CD的中点；余三种方法教师若没有较深厚的数学功底，很(3)对于椭圆r上的点Q(aCOS0，bsin0)难想得到那样去做，称为基本方法有些勉强．基(O<<丌)，如果椭圆r上存在不同的两个交点本的几何作图理论致力于作图的一般思想方法P、P。满足+一两，写出求作点P、P：的研究，研究认为任何一个几何作图问题都是的步骤，并求出使P、P存在的参考

3、解答：根据这种类型的：给定某些线段如n，b，C⋯，求一个／,2或多个其他线段，⋯，任何一个问题总可以第(2)小题的结论，kc·k一一≥表述为这样的问题．比如现假设求作一个线段于是几何作图就归结为一个代数问题：首先第一步：求出PQ的中点Mf，必须找出所求的量和给定量a，b，·之间的6(1+sin0)、关系，求出一厂(a，b，·)，然后必须确定通过——一)；相应的尺规作图的代数过程能否得到这个问题的解．根据基本的几何作图理论，可以知道：如第二步：过M作斜率为的直线，果给定两个长为a，b的线段，一定可以作出a一点评本题通过对题干的理解，提炼出两6数形结合个函数的值域之间的包含关系，运用数形结合例7已

4、经-厂(z)一一2_’，g()一．r+2，的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变对任意E[一1，23，存在。∈[一1，2]，使得直观，同时也起到了化繁为简的效果．g()一-厂(。)，则的取值范围是．以上介绍的几种多参量的函数型不等式恒——解析。．‘∈[一1，2]，则厂()E[一1，3]，成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面人(1)当一0时，g(-1f)一2，显然成立；手去探讨不等式中参数的取值范围．事实上，这(2)当≠o时，函数g()在[一l，2]上具些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往有单调性，因此只需g(一1)一一+2与g(2)需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决．一z

5、m+z在[-1,3]上，即{i妻1，解参考文献：得mE[一1，o)U(0，÷]．[1]侯立刚．几类不等式恒成立问题的解法[J]．中学数学教学，2008，05．综上所述，m的取值范围为[一1，÷]．上海中学数学·2012年第12期例说求解二元最值问题的常用策略210023江苏省南京外国语学校仙林分校秦伟伟自从线性规划被引入中学教材后，高考题中析思维有了较大的考验．笔者搜集相关试题，用就出现以二元最值为背景的考题，其中大部分是例题的形式说明处理这类问题的相关解法．线性规划问题．但随着对二元最值问题考查的增策略一、利用不等式性质多，试题将不等式、三角、解析几何等知识进行了综合，很多题有了一定的难度，

6、对学生的综合分例1(2010年江苏卷)设，为实数，满b,a+6,ab，丁a下面从这个角度出发来看2010上海理科，r口(r为有理数)．即‘有理，，代数023题作图题的参考解答如何实现，给出以下画过程一定可以用几何作图来实现．过程如下：法：由于PQ的中点M易作，所以只要能作出斜1．已知线段a，b，求作口+6如图1，可以用率为的直线，然后过Mfg!的平行尺规实现作图．线即可．1+————一a+b———作出点Q对应卜—一n———6—的参数角的终边／一—＼0S，再作圆心在原P图1点的单位圆0，，0S2．已知线段a，6，求作口一b如图2，可用尺交圆0于点K，过j规实现作图．K作轴的垂1．———一————

7、——线，垂足分别为E，＼～k-a-b——。--———一b————F，则有sin0一EK，cosO=FK(FK可先图5图2不做负值考虑，如3．已知线段果是负值口J以整)．于是a，6，EK，FK都是已a，b，求作a6作一个知线段，根据基本作图理论，有理代数过程通过任意角O，在两边上尺规可以实现作图．于是可以这样做：用圆规标出OA—由于a，b，-asin0，bcos0可作，所以点(a，6)a，0B一6且