三角形面积公式的应用与探究1

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1、三角形面积公式的初探及其应用摘要人类认识面积已由数千年的历史，最初是为了生产与生活的目的而估量与测算面积，后來发展到把面积作为联络各种几何度量和表示许多代数关系的一种直观的工具。而三角形是平面儿何中最基本的图形，运用三角形面积公式解题是数学解题中常用的方法。通过三角形面积公式把边、角等儿何元素Z间的联系相互转化与沟通，这样能够巧妙的找到比较简单的途径来解决问题，并且用面积法解题具有直观性、灵活性、推理的简洁性，是解儿何题常用的方法。本文首先介绍了三角形血积公式的来由，接着对三角形血积公式进行推导与探究

2、,并对其在数学解题中的应用作初步的归类与分析，使我们在理解它的基础上进一步探究它的应用。关键词：三角形面积公式推导应用一、引言面积法实际上是借助与面积公式的一种计算方法，由于血积具有几何的意义又有代数的含义，所以在几何解题中面积方法具有特别重要的地位，同时，对一些代数题也可根据其中的儿何知识运用面积法简洁、巧妙的解决，而有关面枳问题，常用到三角形面积公式的变换，及其比例关系，在运用三角形面积解题时各种儿何元素Z间的关系可以通过面积建立联系，最后得到要求的结论。二、三角形面积公式的来由作为平面几何中最简

3、单的三角形，其在日常生活和学习中的应用是非常广泛的，我们対三角形的面积公式是熟悉的，但对它的來市却是模糊的，对其所含的数学思想认识是不足的。大部分数学屮的公式都是从特殊推导出一般的结论，对于三角形来说也是如此。对于直角三角形来说，设两直角边分别是弘b,用两个这样的三角形就可以组合成一个矩形，而矩形的面积为cixb,那么直角三角形的面积就可以表示成丄axb2那么对于一般三角形来说，可以用一边上的高把它变成两个直角三角形的和或者差来计算。如图1,记ABC三个顶点所对的边分别为弘b、c,其高分别为人、g、

4、人则三角形的面积就等于丄ah}=-^^=-€12.222AA如图1三角形面积公式的演变用S表示三角形ABC的面积,顶点坐标分别为A（x1?j1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,a、b、c分别为BC、AC、AB所对的边，记。上的高为力，R.r分别为ABC的外接圆与内切圆的半径，则我们通过变换将三角形的面积公式转化为以下几种形式：1.5=—absinC22.S出4R3.5=2R~sinAsinBsinC我们常用到的只有基本公式和演变的第一个公式其它都不常用到，我们就将三角形面积公式和平面的儿何知识

5、联系起来来解决数学中问题。X1儿1的绝对值儿1三、三角形面积公式的应用（一）利用三角形面积公式证明几何题三角形面积解题的关键是将面积转化成三角形中的线段、角之间的关系，我们分情来了解面积与线段z间的转化关系。1.当已知或结论明显提到三角形面积时，首先想到将面积转化为等底或等高的三角形面积之I'可的关系。例1求证：平行四边形的两条对角线分成的四个三角形面积相等。例2矩形ABCD,E在AB或AB的延长线上。求证：SM：DE=-SA/}CI）O2例3如图1-3,E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、CD上

6、的点，求证：AD图1-3E以上三个题都是用同底等高很容易就得证了例4如图1-4,E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、CD上的点，且AE=AF,BG丄AF于G,DH丄AE于H,求证：BG=DH。分析：利用例3的结论得到sWE=S，所以^AFBG气AEDH,即得证。例5如图1・5,在平行四边形ABCD中，E是04延长线上一点，连结CE、BE,且CE交AB于F,连结DF。求证：S、ebf=Smdf°分析：连结AC,同样想到等底或等高的面积证明：连结AC,在平行四边形ABCDZDIIBUABIIDCCF+

7、S^fbc图1-5但是用面积的计算会很容易得到的，当然用其2.但有些题目中并没有直接提到面积,他方法也可以得到，但比较繁琐。例6如图1-6,在ABC中，EFIIBC,AD为BC边上的中线，交BC于D,交EF于G。求证：EG=GF。分析：D为BC的中点，想到三角形而积中的等底同高，则=SMCD,若连结DE、DF又可想到S沁想到作高，便可证得。证明：连结DE、DF,过E、F分别作EM丄AD于M.FN丄AD于N•••D是BC的中点又•••EF//BC:.EM=FN:.EG=GFCEGPNM则:C如图1-1

8、C"2_C2何_C3的面积，c为AB的长，q、c2>c3例6看似简单的一道题，如果想不到用面积法证明，就使我们无从下手，所以当遇到证明线段相等时，我们不防试着从面积的方面入手，也许会取得意想不到的效果。1.利用相似三角形面积比等于相似边的比的平方例1.如图1」在ABC内部任取一点P,过P点分别作三条边的平行线，即EF//AB,MN//BC.GH//AC，且与三边分别交与点G、M、F、H、N、E,若Sc=9、S、epn=25yS、pFH=36,则AAB